Xét ΔHAB có 

M là trung điểm của AH(gt)

N là trung điểm của BH(gt)

Do đó: MN là đường trung bình của ΔHBA(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

Suy ra: MN//AB và \(MN=\dfrac{AB}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

hay MN\(\perp\)AC(đpcm)

1 phần thôi nhé

Nối BE, Gọi P là giao điểm của AD với BE.

Áp dụng định lí Ceva cho tam giác ABE => AH/HE=BP/PE=> HP//AB(1).

Từ (1)=> Tam giác AHP cân tại H=> AH=HP.(2)

Ta cần chứng minh AD//CE <=> DP//CE <=> BD/BC=BP/BE <=> BD/BC=1-(EP/BE).(3)

Mà EP/BE=HP/AB (do (1))=> EP/BE= AH/AB=HD/DB (do (2) và tc phân giác).  (4)

Khi đó (3)<=> BD/BC=1-(HD/DB) hay (BD/BC)+(HD/DB)=1 <=> BD^2+HD*BC=BC*DB

<=>  BD^2+HD*BC= (BD+DC)*BD <=> BD^2+HD*BC= BD^2+BD*DC <=> HD*BC=BD*DC  

<=> HD/DB=CD/BC <=> AH/AB=CD/BC. (5) 

    Chú ý: Ta cm được: CA=CD (biến đổi góc).

Nên (5) <=> AH/AB=CA/BC <=> Tg AHB đồng dạng Tg CAB.( luôn đúng)

=> DpCm. 

khó vãi

a) Xét \(\Delta HAB\)và \(\Delta DAH\)có:

\(\widehat{AHB}=\widehat{ADH}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{BAH}\)chung

\(\Rightarrow\Delta HAB\approx\Delta DAH\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AH}{AD}=\frac{AB}{AH}\)(2 cặp cạnh tỉ lệ tương ứng)

\(\Rightarrow AH^2=AB.AD\left(1\right)\)

Xét \(\Delta HAC\)và \(\Delta EAH\)có:

\(\widehat{AHC}=\widehat{AEH}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{CAH}\)chung

\(\Rightarrow\Delta HAC\approx\Delta EAH\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AH}{AE}=\frac{AC}{AH}\)(2 cặp cạnh tỉ lệ tương ứng) 

\(\Rightarrow AH^2=AE.AC\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\)
\(\Rightarrow AH^2=AB.AD=AE.AC\)(điều phải chứng minh)