Ta có\(x\sqrt{\frac{\left(2015+y^2\right)\left(2015+z^2\right)}{2015+x^2}}=x\sqrt{\frac{\left(xy+yz+zx+y^2\right)\left(xy+yz+zx+z^2\right)}{xy+yz+zx+x^2}}\)

\(=x\sqrt{\frac{\left(y+z\right)\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}=xy+xz\)

Tương tự:\(y\sqrt{\frac{\left(2015+x^2\right)\left(2015+z^2\right)}{2015+y^2}}=yx+yz\)

               \(z\sqrt{\frac{\left(2015+x^2\right)\left(2015+y^2\right)}{2015+z^2}}=zx+zy\)

Ta có :\(P=xy+xz+yx+yz+zx+zy=2\left(xy+yz+zx\right)=4030\)

=>P không phải là số chính phương

Biến đổi tương đương giả thiết: \(\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]=0\) (xét hiệu 2 vế, cái đẳng thức này quen thuộc nên bạn tự biến đổi)

Do x, y, z dương nên x + y + z > 0. Do đó để đẳng thức trong giả thiết xảy ra thì \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x=y=z\). Thay y, z bởi x vào M ta được M = 3.

Mình nêu hướng làm thôi!

        \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2015}\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)   (do x+y+z = 2015)

\(\Rightarrow\)\(\frac{xy+yz+xz}{xyz}=\frac{1}{x+y+z}\)

\(\Rightarrow\)\(\left(xy+yz+xz\right)\left(x+y+z\right)=xyz\)

\(\Rightarrow\)\(\left(xy+yz+xz\right)\left(x+y+z\right)-xyz=0\)

\(\Rightarrow\)\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)=0\)

đến đây tự lm nốt nha

Từ giả thiết ta có ngay \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{z\left(x+y+z\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left[\frac{1}{xy}+\frac{1}{z\left(x+y+z\right)}\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)

Suy ra x + y = 0 hoặc y + z = 0 hoặc z + x = 0

Tới đây bạn tự làm nhé :)

\(\frac{x}{2013}=\frac{y}{2014}=\frac{z}{2015}\Rightarrow\frac{2014.2015.x}{2013.2014.2015}=\)\(\frac{y.2013.2015}{2013.2014.2015}=\frac{2013.2014.z}{2013.2014.2015}\)

\(\Rightarrow2014.2015.x=y.2013.2015=z.2013.2014\)

\(\Rightarrow x=2013;y=2014;z=2015\)

Đến đây bạn tự thay vào rồi tính nhé!

câu 2  :

ab+  bc + ca = 2015 

=> 2015 +a^2 = a^2 + ab + bc + ca 

=> 2015 + a^2 = a(a+b ) + c( a + b ) = ( a + c )( a + b)

Tương tự : 2015+b^2 = ( b + c )(b +a )

 2015 + c^2 = ( c + a )(c + b ) thay vào ta có :

( 2015 + a^2)(2015 + b^2 ) (2015 +c^2) = (a + c )(a+b)(b+c)(b+a)(c+a)(c+b) = [(a+c)(a+b)(b+c) ]^2 là số chính phương 

Câu 1 ) :

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2015}\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2015}-\frac{1}{z}=\frac{z-2015}{2015z}\)

=> \(\frac{x+y}{xy}=\frac{z-2015}{2015z}\)

=> \(2015z\left(x+y\right)=\left(z-2015\right)xy\)

=> \(2015z\left(2015-z\right)-\left(z-2015\right)xy\) = 0 

=> \(\left(2015-z\right)\left(2015z-xy\right)\)= 0

=> \(\left(2015-z\right)\left(2015\left(2015-x-y\right)-xy\right)=0\)

=> \(\left(2015-z\right)\left(2015^2-2015x-2015y-xy\right)=0\)

=> \(\left(2015-z\right)\left(2015-x\right)\left(2015-y\right)=0\)

=> 2015 - z =  0 hoặc 2015 -x = 0 hoặc 2015 - y = 0 

=> z = 2015 hoặc x= 2015 hoặc y = 2015 

Vậy trong ba số có ít nhất 1 số bằng 2015 

Câu này olm phải chọn câu dưới em vừa làm vừa nghĩ

Bài 1

Từ giả thiết, bình phương 2 vế, ta được:

\(x^2y^2+\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)+2xy\sqrt{x^2+1}\sqrt{y^2+1}=2015\)

\(\Leftrightarrow2x^2y^2+x^2+y^2+2xy\sqrt{x^2+1}\sqrt{y^2+1}=2014.\)

\(A^2=x^2\left(y^2+1\right)+y^2\left(x^2+1\right)+2x\sqrt{y^2+1}.y\sqrt{x^2+1}\)

\(=2x^2y^2+x^2+y^2+2xy\sqrt{x^2+1}.\sqrt{y^2+1}\)

\(=2014\)

\(\Rightarrow A=\sqrt{2014}.\)

Bài 2:

Đặt \(\sqrt{2015}=a>0\)

\(\left(x+\sqrt{x^2+a}\right)\left(y+\sqrt{y^2+a}\right)=a\text{ }\left(1\right)\)

Do \(\sqrt{y^2+a}-y>\sqrt{y^2}-y=\left|y\right|-y\ge0\) nên ta nhân cả 2 vế với \(\sqrt{y^2+a}-y\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{x^2+a}\right)\left[\left(y^2+a\right)-y^2\right]=a.\left(\sqrt{y^2+a}-y\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+a}+x=\sqrt{y^2+a}-y\)

Tương tự ta có: \(\sqrt{y^2+a}+y=\sqrt{x^2+a}-x\)

Cộng theo vế 2 phương trình trên, ta được \(x+y=-\left(x+y\right)\Leftrightarrow x+y=0\)

Bài 3

Áp dụng bất đẳng thức Côsi

\(x\sqrt{x}+y\sqrt{y}+z\sqrt{z}\ge3\sqrt[3]{x\sqrt{x}.y\sqrt{y}.z\sqrt{z}}=3\sqrt{xyz}\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z\)

Thay vào tính được \(A=2.2.2=8\text{ }\left(x=y=z\ne0\right).\)

Em mới hoc lớp 7