Ta có:

P = a + b + c ≤ a + b + a + b = 2(a + b) ≤ 2(-1) = -2

Ta cũng có:

P = a + b + c ≤ a + b + c - 2abc ≥ a + b + c - 2(-1)(-1)(-1) = -3

Vậy GTNN của P = -3 và GTLN của P = -2.

a)Có \(a^2+1\ge2a\) với mọi a; \(b^2+1\ge2b\) với mọi b

Cộng vế với vế \(\Rightarrow a^2+b^2+2\ge2\left(a+b\right)\)

Dấu = xảy ra <=> a=b=1

b) Áp dụng BĐT bunhiacopxki có:

\(\left(x+y\right)^2\le\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\le2\)

\(\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le x+y\le\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)_{max}=\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=\sqrt{2}\\x=y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\left(x+y\right)_{min}=-\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-\sqrt{2}\\x=y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

c) \(S=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{2ab}\)

Với x,y>0, ta có: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) (1)

Thật vậy (1) \(\Leftrightarrow\dfrac{y+x}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (lđ)

Áp dụng (1) vào S ta được:

\(S\ge\dfrac{4}{a^2+b^2+2ab}+\dfrac{1}{2ab}\)

Lại có: \(ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\) \(\Leftrightarrow2ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\Leftrightarrow2ab\le\dfrac{1}{2}\)\(\Rightarrow\dfrac{1}{2ab}\ge2\)

\(\Rightarrow S\ge\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}+2=6\)

\(\Rightarrow S_{min}=6\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)

Đáp án D

Đáp án B

3 a = 5 b = 1 3 c 5 c ⇔ a log 3 15 = b log 3 15 = - c log 15 15 ⇔ a 1 + log 3 5 = b 1 + log 5 3 = - c

Đặt  t = log 3 5 ⇒ a = - c 1 + t b = - c 1 + 1 t = a t ⇒ a = - c 1 + a b ⇔ a b + b c + c a = 0

⇒ P = a + b + c 2 - 4 a + b + c ≥ - 4 . Dấu bằng khi a + b + c = 2 a b + b c + c a = 0 , chẳng hạn a = 2,b = c = 0.

Ta có 

Ta có 

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky, ta có 

Do đó 

Dấu "x" xảy ra 

Chọn C.

Ta thấy (1) là hình tròn tâm 

Ta có  Xem đây là phương trình đường thẳng.

Để đường thẳng và hình tròn có điểm chung 

Đáp án C

a 2 + b 2 ( a + b i ) + 2 ( a + b i ) + i = 0 ⇔ a a 2 + b 2 + 2 a + ( b a 2 + b 2 + 2 b + 1 ) i = 0 ⇔ a a 2 + b 2 + 2 a = 0 b a 2 + b 2 + 2 b + 1 = 0 ⇒ a = 0 b = 1 ± 2 ⇒ a = 0 b = 1 − 2 ⇒ T = 1 - 2 2 = 3 − 2 2

\(\)Ta có: \(a+b+c=0 \Rightarrow b+c=-a \Rightarrow (b+c)^2=(-a)^2 \Leftrightarrow b^2+c^2+2bc=a^2 \Leftrightarrow a^2-b^2-c^2=2bc\)

Tương tự: \(b^2-c^2-a^2=2ca;c^2-a^2-b^2=2ab\)

\(P=...=\dfrac{a^2}{2bc}+\dfrac{b^2}{2ca}+\dfrac{c^2}{2bc}=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{2abc}=\dfrac{3abc}{2abc}=\dfrac{3}{2}\)

----
Bổ đề \(a+b+c=0 \Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\)

Ở đây ta c/m chiều thuận:
Với \(a+b+c=0 \Leftrightarrow a+b=-c \Rightarrow (a+b)^3=(-c)^3 \Leftrightarrow a^3+b^3+3ab(a+b)=-c^3 \Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc(QED)\)