a, ABCD là hình vuông (gt) 

=> AD = DC (đn)

xét tg ADE và tg CDF có : AE = CF (Gt)

^EAD = ^DCF = 90 do ..

=> tg ADE = tg CDF (2cgv)

=> DE = DF (1) và

   ^AED = ^DFC (đn) ; AB//CD do ABCD là hv (gt) => ^AED = ^EDC (slt)

=> EDC = ^DFC 

có ^DFC + ^FDC = 90 do ...

=> ^EDC + ^FDC = 90

=> ^EDF = 90 và (1)

=> tg EDF vuông cân tại D (Đn)

b, tg BEF vuông tại B ; I là trung điểm của EF (gt) => BI = EF/2 (đl)

tgEDF vuông tại D (câu a); I là trung điểm của EF (gt) => DI = EF/2 (Đl)

=> BI = DI 

=> I thuộc đường trung trực của BD (Đl)

có O;C thuộc đường trung trực của BD (dễ tự cm) 

=> O;C;I thẳng hàng

khong lam được hjnh hoi mjnh nha

a, Xét \(\Delta ADE\)và \(\Delta DCF\)ta có :

\(DC=AD\)(theo tính chất của hinh vuông )

\(AE=CF\left(gt\right)\)

\(\widehat{DAE}=\widehat{DCF}=90^0\)

\(\Rightarrow\Delta ADE=\Delta DCF\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}DE=DF\\\widehat{ADE}=\widehat{CDF}\end{cases}}\)

Mà \(\widehat{ADE}=\widehat{EDC}=90^0\)(tính chất hình vuông )

Nên \(\widehat{CDF}=\widehat{EDC}=90^0\)

Xét \(\Delta EDF\)ta có :

\(\widehat{EDF}=90^0\)

\(\Rightarrow\Delta EDF\)vuông tại D

Mà \(DE=DF\left(cmt\right)\)

Nên \(\Delta DEF\)là tam giác vuông cân tại D

b, Xét \(\Delta BEF\)vuông tại B , ta có :

BI là đường trung tuyến ( I là trung điểm EF )

\(\Rightarrow BI=\frac{1}{2}EF\)

Xét \(\Delta DFE\)vuông tại D , ta có :

DI là đường trung tuyến ( I là trung điểm EF )

\(\Rightarrow DI=\frac{1}{2}EF\)

Mà \(BI=\frac{1}{2}EF\left(cmt\right)\)

Nên DI=BI

Có DI=BI 

\(\Rightarrow I\)là đường trung trực của BD (1)

Có DC=CB (tính chất hình vuông ABCD )

\(\Rightarrow C\)thuộc đường trung trực của BD (2)

Có O là trung điểm BD ( tính chất hình vuông ABCD )

\(\Rightarrow O\)thuộc đường trung trực BD (3)

Từ 1 , 2 , 3 

\(\Rightarrow O,C,I\)thẳng hàng 

Chúc bạn học tốt !

a, Xét ΔADEvà ΔDCFta có :

DC=AD(theo tính chất của hinh vuông )

AE=CF(gt)

^DAE=^DCF=900

⇒ΔADE=ΔDCF(c.g.c)

⇒{

Mà ^ADE=^EDC=900(tính chất hình vuông )

Nên ^CDF=^EDC=900

Xét ΔEDFta có :

^EDF=900

⇒ΔEDFvuông tại D

Mà DE=DF(cmt)

Nên ΔDEFlà tam giác vuông cân tại D

b, Xét ΔBEFvuông tại B , ta có :

BI là đường trung tuyến ( I là trung điểm EF )

⇒BI=12 EF

Xét ΔDFEvuông tại D , ta có :

DI là đường trung tuyến ( I là trung điểm EF )

⇒DI=12 EF

Mà BI=12 EF(cmt)

Nên DI=BI

Có DI=BI 

⇒Ilà đường trung trực của BD (1)

Có DC=CB (tính chất hình vuông ABCD )

⇒Cthuộc đường trung trực của BD (2)

Có O là trung điểm BD ( tính chất hình vuông ABCD )

⇒Othuộc đường trung trực BD (3)

Từ 1 , 2 , 3 

⇒O,C,Ithẳng hàng 

tia đối là gì??giao điểm thì mình bít rùi

Tia đối của tia BA là từ điểm B kéo dài ra thêm một đoạn. Đoạn đó chính là tia đối!!

tick đi giải chi tiết cho luôn ko lừa đâu

Bài 3: 

a: Xét ΔABM và ΔACN có

AB=AC
góc ABM=góc ACN

BM=CN

Do đó: ΔABM=ΔACN

Suy ra: AM=AN

b: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAKC vuông tại K có

AB=AC

góc BAH=góc CAK

Do đó; ΔAHB=ΔAKC

Suy ra: AH=AK và BH=CK

c: Xét ΔHBM vuông tại H và ΔKCN vuông tại K có

MB=CN

góc M=góc N

Do đó ΔHBM=ΔKCN

Suy ra: góc HBM=góc KCN

=>góc OBC=góc OCB

hay ΔOBC can tại O

Ta có: ΔABC đều, D ∈ AB, DE⊥AB, E ∈ BC
=> ΔBDE có các góc với số đo lần lượt là: 300
; 600
; 900
 => BD=1/2BE
Mà BD=1/3BA => BD=1/2AD => AD=BE => AB-AD=BC-BE (Do AB=BC)
=> BD=CE. 
Xét ΔBDE và ΔCEF: ^BDE=^CEF=900
; BD=CE; ^DBE=^ECF=600
=> ΔBDE=ΔCEF (g.c.g) => BE=CF => BC-BE=AC-CF => CE=AF=BD
Xét ΔBDE và ΔAFD: BE=AD; ^DBE=^FAD=600
; BD=AF => ΔBDE=ΔAFD (c.g.c)
=> ^BDE=^AFD=900
 =>DF⊥AC (đpcm).
b) Ta có: ΔBDE=ΔCEF=ΔAFD (cmt) => DE=EF=FD (các cạnh tương ứng)
=> Δ DEF đều (đpcm).
c) Δ DEF đều (cmt) => DE=EF=FD. Mà DF=FM=EN=DP => DF+FN=FE+EN=DE+DP <=> DM=FN=EP
Lại có: ^DEF=^DFE=^EDF=600=> ^PDM=^MFN=^NEP=1200
 (Kề bù)
=> ΔPDM=ΔMFN=ΔNEP (c.g.c) => PM=MN=NP => ΔMNP là tam giác đều.
d) Gọi AH; BI; CK lần lượt là các trung tuyến của  ΔABC, chúng cắt nhau tại O.
=> O là trọng tâm ΔABC (1)
Do ΔABC đều nên AH;BI;BK cũng là phân giác trong của tam giác => ^OAF=^OBD=^OCE=300
Đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác => OA=OB=OC
Xét 3 tam giác: ΔOAF; ΔOBD và ΔOCE:
AF=BD=CE
^OAF=^OBD=^OCE      => ΔOAF=ΔOBD=ΔOCE (c.g.c)
OA=OB=OC
=> OF=OD=OE => O là giao 3 đường trung trực  Δ DEF hay O là trọng tâm Δ DEF (2)
(Do tam giác DEF đề )
/

(Do tam giác DEF đều)
Dễ dàng c/m ^OFD=^OEF=^ODE=300
 => ^OFM=^OEN=^ODP (Kề bù)
Xét 3 tam giác: ΔODP; ΔOEN; ΔOFM:
OD=OE=OF
^ODP=^OEN=^OFM          => ΔODP=ΔOEN=ΔOFM (c.g.c)
OD=OE=OF (Tự c/m)
=> OP=ON=OM (Các cạnh tương ứng) => O là giao 3 đường trung trực của  ΔMNP
hay O là trọng tâm ΔMNP (3)
Từ (1); (2) và (3) => ΔABC; Δ DEF và ΔMNP có chung trọng tâm (đpcm).