Bài 1: Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left(1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)

Lại có BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}=4\left(a+b=1\right)\)

Cộng theo vế 2 BĐT trên có:

\(P=a^2+b^2+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge4+\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

Bài 2: Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(VT^2=\left(x-1\right)+\left(3-x\right)+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(3-x\right)}\)

\(=2+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(3-x\right)}\)

\(\le2+\left(x-1\right)+\left(3-x\right)=4\)

\(\Rightarrow VT^2\le4\Rightarrow VT\le2\left(1\right)\). Lại có:

\(VP=x^2-4x+4+2=\left(x-2\right)^2+2\ge2\left(2\right)\)

Từ (1);(2) xảy ra khi 

\(VT=VP=2\Rightarrow\left(x-2\right)^2+2=2\Rightarrow\left(x-2\right)^2=0\Rightarrow x=2\) (thỏa)

Vậy x=2 là nghiệm của pt

2. \(\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}=x^2-4x+6\)

Điều kiện : \(\hept{\begin{cases}x-1\ge0\\3-x\ge0\end{cases}\Leftrightarrow}1\le x\le3\left(1\right)\)

(Nháp nhé : dễ thấy phương trình có nghiệm \(x=2\) nên ta sẽ thêm bớt để có \(\left(x-2\right)\)là nhân tử chung )

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}-1+\sqrt{3-x}-1=x^2-4x+4\)

nhân liên hợp có :

\(\Leftrightarrow\frac{\left(\sqrt{x-1}-1\right)\left(\sqrt{x-1}+1\right)}{\left(\sqrt{x-1}+1\right)}+\frac{\left(\sqrt{3-x}+1\right)\left(\sqrt{3-x}-1\right)}{\left(\sqrt{3-x}+1\right)}=\left(x-2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-2}{\left(\sqrt{x-1}+1\right)}+\frac{-\left(x-2\right)}{\left(\sqrt{3-x}+1\right)}=\left(x-2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left[\frac{1}{\left(\sqrt{x-1}+1\right)}-\frac{1}{\left(\sqrt{3-x}+1\right)}-\left(x-2\right)\right]=0\)

bài này dễ ẹt ak 

nhưng giúp mình bài này đi 

chotam giac abc . co canh bc=12cm, duong cao ah=8cm

a> tinh s tam giac abc

b> tren canh bc lay diem e sao cho be=3/4bc. tinh s tam giac abe va s tam giac ace ( bằng nhiều cách )

c> lay diem chinh giua cua canh ac va m . tinh s tam giac ame

a) Xét trường hợp các chữ số đều bình đẳng :

Số cách sắp xếp 2 chữ số lẻ  khác nhau từ A cho 4 vị trí :

\(C_3^1.C_4^1.C_2^1.C_3^1=72\)

Số cách sắp xếp 2 chữ số chẵn từ A cho 2 vị trí còn lại A : 

\(C_4^1.C_2^1.C_3^1.C_1^1=24\) 

=> Có tất cả : 72.24 = 1728 số 

Xét trường hợp cố định số 0 đứng đầu 

=> Số cách sắp xếp 2 chữ số lẻ từ A cho 3 vị trí :

\(C_3^1.C_3^1.C_2^1.C_2^1=36\)

Số cách sắp xếp 1 chữ số chẵn từ A cho vị trí còn lại :

\(C_3^1.C_1^1=3\)

=> Có tất cả : 1.36.3 = 108 số

=> Số các số thỏa mãn đề : 1728 - 108 = 1620 (số)

b) Gọi số thỏa mãn có dạng \(\overline{abcd}\)

TH1 a = 3 => b \(\in\left\{4;5;6\right\}\) hoặc b = 2

(*) \(b\in\left\{4;5;6\right\}\) => Số các số cần tìm : \(1.C_3^1.A_5^2=60\)

(*) b = 2 => Số các số cần tìm : \(1.1.1.C_2^1+1.1.1.C_4^1=6\)

TH1 có 66 số

TH2 \(a\in\left\{4;5;6\right\}\)

TH2 có : \(C_3^1.A_6^3=360\)

Vậy có tất cả 360 + 66 = 426

a) 13,33<14<14,44

Vay 2 x X =14

X=14:2=7

b)13,33<13,4;13,5;13,6;13,7;13,8;13,9;14,0;14,1;14;2;14,3<14,44

Vay X=6,7 =6,8 =6,9 = 7,1 la TM nha Lê Hoàng Lan

\(A^2=\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{y+2}\right)^2\le2\left(x+1+y+2\right)=36\)

\(\Rightarrow A\le6\)

\(A_{max}=6\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=8\\y=7\end{matrix}\right.\)