tìm nghiệm của phương trình x + y + z =k , trong đó k là một số nguyên dương ≤ 5000 (x, y, z ∈ Z)
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : xyz = x + y + z
Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x+y+z=xyz
+Xét \(x=y=z=0\)
+ Xét trong x;y;z có 1 số bằng 0
+ Xét \(x;y;z\ne0\)
Giả sử \(0< x\le y\le z\)
\(x+y+z=xyz\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1\le\frac{3}{x^2}\)
\(\Rightarrow x^2\le3\)
\(\Rightarrow x=1\)
Thay x=1 ta được:
\(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{yz}\le\frac{3}{y}\)
\(\Rightarrow y\le3\)
\(\Rightarrow y\in\left\{1;2;3\right\}\)
Bạn tự giải tiếp nhé
Giả sử 1<=x<=y<=z
=> xyz<=x+y+z
=>xyz<=z+z+z
=>xyz<=3z
=>xy\(\in\){1;2;3}
+)xy=1 => x=y=1 =>1+1+z=z (vô lí)
+) xy=2 => (x;y)=(1;2) ; (2;1)
Mà x<=y
=>(x;y)=(1;2)
Mà xy<=3
=>z=3 (t/m)
+) xy=3 => (x;y)=(1;3);(3;1)
Mà x<=y
=>(x;y)=(1;3)
=>z=3 (vô lí)
Vậy x=1; y=2 ; z=3
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
\(5\left(x+y+z+t\right)+15=2xyzt\)
Vai trò của \(x;y;z;t\)như nhau nên ta coi \(x\ge y\ge z\ge t\)
\(\Rightarrow2xyzt=5\left(x+y+z+t\right)+15\le20x+15\)
\(\Rightarrow xyzt\le10x+3\)
\(x\ge1\)( nguyên dương )
\(\Rightarrow yzt\le13\)
\(\Rightarrow3t\le13\)
\(\Rightarrow t\le4\)
Với \(t=1:\)\(2xyz.1=5\left(x+y+z+1\right)+15\)
\(2xyz=5\left(x+y+z\right)+20\le15x+20\)
\(\Rightarrow2yz\le35\)
\(\Rightarrow2.2z\le35\left(y\ge z\right)\)
\(\Rightarrow z\le8\)
Thôi nhiều trường hợp lắm bà tự giải theo hướng đó nhé. Tớ còn chưa học phương trình.
Lâu r ko làm thử bài pt nghiệm nguyên nào
\(5\left(x+y+z+t\right)+15=2xyzt\left(1\right)\)
Không mất tính tổng quát,giả sử \(1\le x\le y\le z\le t\)
Dễ thấy cả 2 vế đều khác 0,chia 2 vế của pt cho xyzt:
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{5}{xyz}+\frac{5}{xzt}+\frac{5}{xyt}+\frac{5}{yzt}+\frac{15}{xyzt}=2\)
\(\Leftrightarrow\frac{5}{xyz}+\frac{5}{xzt}+\frac{5}{xyt}+\frac{5}{yzt}+\frac{15}{xyzt}\le\frac{5}{x^3}+\frac{5}{x^3}+\frac{5}{x^3}+\frac{5}{x^3}+\frac{15}{x^3}=\frac{35}{x^3}\)
\(\Leftrightarrow2\le\frac{35}{x^3}\Leftrightarrow2x^3\le35\Leftrightarrow x\in\left\{1;2\right\}\)
(*)x=1
\(=>2=\frac{5}{yz}+\frac{5}{zt}+\frac{5}{yt}+\frac{5}{yzt}+\frac{15}{yzt}\le\frac{35}{y^2}\)
\(=>2\le\frac{35}{y^2}=>2y^2\le35=>y^2\le\frac{35}{2}=>y\in\left\{1;2;3;4\right\}\)
+x=1;y=1 thì \(\left(1\right)< =>5\left(z+t\right)+25=2zt< =>5z+5t+25=2zt\)
\(< =>4zt=2\left(5z+5t+25\right)=10z+10t+50\)
\(< =>4zt-10z-10t-50=0< =>4zt-10z-10t+25=75\)
\(< =>2z\left(2t-5\right)-5\left(2t-5\right)=75< =>\left(2z-5\right)\left(2t-5\right)=75\)
Vì \(1\le z\le t=>-3\le2z-5\le2t-5\)
\(=>\left(2z-5\right)\left(2t-5\right)=75=75.1=25.3=15.5\)
Ta xét bảng:
2z-5 | 75 | 25 | 15 |
2t-5 | 1 | 3 | 5 |
Suy ra :(z;t)=(3;40);(4;15);(5;10)
+x=1;y=2 thì \(\left(1\right)< =>5\left(z+t\right)+30=4zt< =>5z+5t+30=4zt\)
\(< =>16zt=4\left(5z+5t+30\right)< =>16zt=20z+20t+120\)
\(< =>16zt-20z-20t-140=0< =>16zt-20z-20t+25=145\)
\(< =>\left(4z-5\right)\left(4t-5\right)=145\)
Xét bảng.... => ko tìm đc (z;t)=>loại TH này
+x=1;y=3 thì \(\left(1\right)< =>5\left(z+t\right)+35=6zt< =>5z+5t+35=6zt\)
\(< =>36zt=6\left(5z+5t+35\right)< =>36zt=30z+30t+210\)
\(< =>36zt-30z-30t-210=0< =>36zt-30z-30t+25=135\)
\(< =>\left(6z-5\right)\left(6t-5\right)=235\)
Xét bảng=> ko tìm đc (z;t)=>loại TH này
+x=1;y=4 thì \(\left(1\right)< =>5\left(z+t\right)+40=8zt< =>5z+5t+40=8zt\)
\(< =>6zt=8\left(5z+5t+40\right)=40z+40t+320\)
\(< =>6zt-40z-40t-320=0< =>6zt-40z-40t+25=345\)
\(< =>\left(8z-5\right)\left(8t-5\right)=345\)
Xét bảng=>ko tìm đc (z;t)=>loại TH này
(*)x=2 thì \(\left(1\right)< =>5\left(y+z+t\right)+25=4yzt\),chia 2 vế của pt cho yzt:
\(< =>\frac{5}{zt}+\frac{5}{yt}+\frac{5}{yz}+\frac{25}{yzt}=4\le\frac{40}{y^2}< =>4y^2\le40< =>4\le y^2\le10\)
\(< =>y\in\left\{2;3\right\}\)
+x=2;y=2 thí \(\left(1\right)< =>5\left(z+t\right)+35=8zt< =>5z+5t+35=8zt\)
\(< =>64zt=8\left(5z+5t+35\right)=40z+40t+280\)
\(< =>64zt-40z-40t-280=0< =>64zt-40z-40t+25=305\)
\(< =>\left(8z-5\right)\left(8t-5\right)=305\)
Xét bảng=>ko tìm đc (z;t)=>loại TH này
+x=2;y=3 thì \(\left(1\right)< =>5\left(z+t\right)+40=12zt< =>5z+5t+40=12zt\)
\(< =>144zt=60z+60t+480\)
\(< =>144zt-60z-60t-480=0< =>144zt-60z-60t+25=505\)
Xét bảng=>ko tìm đc (z;t)=>loại TH này
Vậy pt (1) có các nghiệm (x;y;z;t) nguyên dương là (1;1;3;40);(1;1;5;10);(1;1;4;15) và các hoán vị của nó
Đặt: \(A=5\left(x+y+z+t\right)+15=2xyzt\)
Giả sử: \(x\le y\le z\le t\)
\(A\Leftrightarrow\frac{5}{yzt}+\frac{5}{xzt}+\frac{5}{xyt}+\frac{5}{xyt}+\frac{15}{xyzt}=2\le\frac{5}{x^3}+\frac{5}{x^3}+\frac{5}{x^3}+\frac{5}{x^3}+\frac{15}{x^3}=\frac{35}{x^3}\)
Hay \(2x^3\le35\Rightarrow x\in\left\{1;2\right\}\)
TH1: \(x=1\) Ta có: \(\frac{5}{yzt}+\frac{5}{zt}+\frac{5}{yt}+\frac{5}{yz}+\frac{15}{yzt}=2\le\frac{35}{x^3}\)
\(\Rightarrow2y^2\le35\Rightarrow y\in\left\{1;2;3;4\right\}\)
+ Nếu \(x=1;y=1\)
\(A\Leftrightarrow5\left(2+z+t\right)+15=2zt\)
\(\Leftrightarrow2\left(zt\right)+25=2zt\)
\(\Leftrightarrow5z+5t-2zt+25=0\)
\(\Leftrightarrow10z+10t-4zt+50=0\)
\(\Leftrightarrow10z-25+2t\left(5-2z\right)+75=0\)
\(\Leftrightarrow-5\left(5-2z\right)+2t.\left(5-2z\right)=-75\)
\(\Leftrightarrow\left(2t-5\right)\left(2z-5\right)=75=1.75=3.25=5.15\)
Có: \(-3\le2z-5\le2t-5\)
\(\Rightarrow\left(z;t\right)=\left(3;40\right),\left(4;15\right),\left(5;10\right)\)
+ Nếu \(x=1;y=2\)
\(A\Leftrightarrow5\left(3+z+t\right)+15=6zt\)
\(\Leftrightarrow5\left(z+t\right)+30=6zt\)
\(\Leftrightarrow\left(4z-5\right)\left(4t-5\right)=145\)
Vì \(4z-5\) và \(4t-5\) chia 4 dư 3 mà 145 không chứa thừa số chia 4 dư 3 suy ra phương trình vô nghiệm
Nếu \(x=1;y=3\Leftrightarrow\left(6z-5\right)\left(6t-5\right)=235\)
Có \(13\le6z-5\le6t-5\) mà \(235=5.47=1.235\)
=> phương trình cũng vô nghiệm
Xét \(x=1;y=4\)
\(\Rightarrow\left(8z-5\right)\left(8t-5\right)=345\)
=> phương trình vô nghiệm
TH2: \(x=2\)
\(A\Leftrightarrow5\left(2+y+z+t\right)+15=4yzt\)
\(\Leftrightarrow\frac{5}{zt}+\frac{5}{yt}+\frac{5}{yz}+\frac{25}{yzt}=4\le\frac{40}{y^2}\Rightarrow y\in\left\{2;3\right\}\)
Nếu \(x=2;y=2\)
Ta có: \(5\left(4+z+t\right)+15=8zt\)
\(\Leftrightarrow5\left(z+t\right)+35=8zt\)
\(\Leftrightarrow\left(8z-5\right)\left(8t-5\right)=305\).
=> phương trình vô nghiệm
Xét \(x=3;y=3\)
\(\Rightarrow\left(12z-5\right)\left(12t-5\right)=505\)
=> phương trình vô nghiệm
Kết luận:.......
Câu 1 :Chứng minh phương trình 11x^2+5=y^2 có vô số nghiệm nguyên có dạng y=11z-4; z thuộc Z
Câu 2 : Chưng minh phương trình: 7x^2+2= y^2 có vô số nghiệm nguyên.
Câu 3 : Tìm các số nguyên thoả mãn: 8x^2y^2 +x^2+y^2=10xy
MÌNH ĐANG CẦN GẤP GIẢI GIÚP MÌNH NHA !
Tìm 3 số nguyên tố liên tiếp x,y,z (x<y<z) sao cho số A=x^2+y^2+z^2 là một số nguyên tố
với p là 1 số nguyên tố tìm nghiệm nguyên (x;y) của phương trình
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{p}\)
Cho số phức z=a+bi với a, b là hai số thực khác 0. Một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z làm nghiệm với mọi a, b là:
A. z 2 = a 2 - b 2 + 2 a b i
B. z 2 = a 2 + b 2
C. z 2 - 2 a z + a 2 + b 2 = 0
D. z 2 + 2 a z + a 2 - b 2 = 0
Tìm các số tự nhiên x,y,z (x<y<z) sao cho số \(A=x^2+y^2+z^2\)là một số nguyên tố.
Tìm các số tự nhiên x,y,z (x<y<z) sao cho số \(A=x^2+y^2+z^2\)là một số nguyên tố.