Do vai trò bình đẳng của x, y, z trong phương trình, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z. 
Vì x, y, z nguyên dương nên xyz ≠ 0, do x ≤ y ≤ z => xyz = x + y + z ≤ 3z => xy ≤ 3 => xy thuộc {1 ; 2 ; 3}. 
Nếu xy = 1 => x = y = 1, thay vào (2) ta có : 2 + z = z, vô lí. 
Nếu xy = 2, do x ≤ y nên x = 1 và y = 2, thay vào (2), => z = 3. 
Nếu xy = 3, do x ≤ y nên x = 1 và y = 3, thay vào (2), => z = 2.

Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (2) là các hoán vị của (1 ; 2 ; 3).

cái thằng lợn này , k bấm đúng à ((:

mi cop tên mạng à

Ta có: \(2\left(x+y+z\right)=xyz\)

\(\Rightarrow1=\frac{2}{xy}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{zx}\)

G/s \(x\ge y\ge z\ge1\) khi đó:

\(1=2\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)\le\frac{3}{z^2}\Rightarrow z^2\le3\Rightarrow z=1\)

Thay vào: \(2x+2y+2=xy\)

\(\Leftrightarrow\left(xy-2x\right)-\left(2y-4\right)=6\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(y-2\right)=6\)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}x-2\ge-1\\y-2\ge-1\end{cases}}\) nên ta có các TH sau:

TH1: \(\hept{\begin{cases}x-2=6\\y-2=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=8\\y=3\end{cases}}\)

TH2: \(\hept{\begin{cases}x-2=3\\y-2=2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=5\\y=4\end{cases}}\)

Vậy \(\left(x,y,z\right)\in\left\{\left(8,3,1\right);\left(5,4,1\right)\right\}\) và 2 hoán vị

3.(x+y)^2+y^2+3y+9/4=25/4

(x+y)^2+(y+3/2)^2=25/4

2

Do \(\overline{a56b}⋮45\)nên \(\overline{a56b}\) chia hết cho 5;9 vì \(\left(5,9\right)=1\)

\(TH1:b=5\Rightarrow\overline{a56b}=\overline{a565}\) chia hết cho 9

\(\Rightarrow a+5+6+5⋮9\Rightarrow a+16⋮9\)

Mà \(a\in\left\{1;2;3;4;5;6;7;8;9;0\right\}\)

\(\Rightarrow a=2\)

\(TH2:b=0\Rightarrow\overline{a56b}=\overline{a560}⋮9\)

\(\Rightarrow a+5+6+0⋮9\Rightarrow11⋮9\)

Lập luận tương tự ta có \(a=7\Rightarrow\overline{a56b}=7560\)

\(3\Leftrightarrow\left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(y^2+3y-4\right)=0\Leftrightarrow4\left(x+y\right)^2+\left(4y^2+12y-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow4\left(x+y\right)^2+\left(2y+3\right)^2=13\) 

...........

\(P\le\sqrt{3\left(\sum\dfrac{1}{\left(x+y\right)^2+\left(x+1\right)^2+4}\right)}\le\sqrt{3\left(\sum\dfrac{1}{4xy+4x+4}\right)}\)

\(P\le\sqrt{\dfrac{3}{4}\sum\left(\dfrac{1}{xy+x+1}\right)}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

\(P_{max}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) khi \(x=y=z=1\)

Ta có nhận xét sau:

     \(\dfrac{x+2}{x^3\left(y+z\right)}=\dfrac{1}{x^2\left(y+z\right)}+\dfrac{2}{x^3\left(y+z\right)}=\dfrac{yz}{zx+xy}+\dfrac{2\left(yz\right)^2}{zx+xy}\)

Tương tự với các phân thức còn lại

Ta đặt:

     \(\left\{{}\begin{matrix}a=xy\\b=yz\\c=zx\end{matrix}\right.\)

     \(\Rightarrow abc=1\) và \(a,b,c>0\)

Biểu thức P trở thành:

     \(P=\Sigma_{cyc}\dfrac{a}{b+c}+2\Sigma_{cyc}\dfrac{a^2}{b+c}\)

Dễ thấy:

     \(\Sigma_{cyc}\dfrac{a}{b+c}\ge\dfrac{3}{2}\) (Nesbit)

     \(\Sigma_{cyc}\dfrac{a^2}{b+c}\ge\dfrac{a+b+c}{2}\ge\dfrac{3\sqrt[3]{abc}}{2}=\dfrac{3}{2}\)

Do đó:

     \(P\ge\dfrac{3}{2}+2.\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)