Ta có 1971 chia 4 dư 3

Mà số chính phương là số chia hết cho 4 hoặc chia 4 dư 1

=>23ⁿ chia 4 dư 1 hoặc dư 2

23ⁿ chia 4 dư 2 <=>23ⁿ là số chẵn(vô lí)

=>23ⁿ chia 4 dư 1

Ta có:23 = 3(mod 4)

         23ⁿ=3ⁿ(mod 4)

=>3ⁿ chia 4 dư 1

Xét n nhỏ nhất để 3ⁿ chia 4 dư 1 là 2(3²=9 chia 4 dư 1)

=>3ⁿ là bội của 9(n khác 0)

=> n là số chẵn khác 0

Vậy n chẵn và khác 0 thì...

a. tìm a là số tự nhiên để 17a+8 là số chính phương

Giả sử \(17a+8=x^2\Rightarrow17a-17+25=x^2\Rightarrow17\left(a-1\right)=x^2-25\Rightarrow17\left(a-1\right)=\left(x-5\right)\left(x+5\right)\)

\(\Rightarrow\left(x-5\right);\left(x+5\right)⋮17\)

\(\Rightarrow x=17n\pm5\Rightarrow a=17n^2\pm10n+1\)

TH1: n = 2k+1 (k∈N) (tức là n lẻ)
\(23^n\)+1971 chia 3 dư 2 => không là số chính phương
TH2: n=2k (tức là n chẵn)

\(^{23^n}\)+1971= \(23^{2k}\)+1971=> \(a^2\)(a−\(23^k\))(a+\(23^k\))= 1971 = 1.1971= 27.73

(a và 23 không chia hết cho 3 nên ta loại bớt trường hợp a−\(23^k\) , a+\(23^k\) đồng thời chia hết 3)
Giải hệ phương trình trên, được k=1 hay n=2

 Ta có n! = 1 . 2 . 3 . ... .n

nếu n>5 ⇒ n = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . ... .n

              ⇒n có tận cùng là 0

              ⇒n! + 47 có tận cùng = 7

mà scp không có tận cùng là 7

             ⇒n < 5

            ⇒n= 1;2;3;4

Th1 n = 1 ⇒n! = 1 ⇒n! + 47 = 48 (L)

Tương tự như vậy ta tìm được n = 2

Vì \(n+8\) và \(n+1\) là 2 SCP

nên đặt \(\left\{{}\begin{matrix}n+8=x^2\\n+1=y^2\end{matrix}\right.\) ;\(a;b\in N\) (1)

Trừ từng vế ta được:

\(x^2-y^2=7\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)=7\)

Vì \(x;y\in N\) nên \(x-y< x+y\)

\(\rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=1\\x+y=7\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=3\end{matrix}\right.\)

Thế vào (1) ta được:\(\left\{{}\begin{matrix}n+8=4^2\\n+1=3^2\end{matrix}\right.\)

                                  \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n=8\\n=8\end{matrix}\right.\)

Vậy \(n=8\) thì \(n+8;n+1\) là 2 SCP

Lời giải:
Đặt $n^2-n+13=t^2$ với $t$ là số tự nhiên

$\Rightarrow 4n^2-4n+52=4t^2$

$\Leftrightarrow (4n^2-4n+1)+51=4t^2$

$\Leftrightarrow (2n-1)^2+51=(2t)^2$

$\Leftrightarrow 51=(2t)^2-(2n-1)^2=(2t-2n+1)(2t+2n-1)$

Đến đây là dạng phương trình tích cơ bản rồi. Bạn lập bảng xét giá trị để tìm ra $n$ thôi.

Gọi số cần tìm là a 
Suy ra (a+2) chia hết cho cả 3,4,5,6 
Vậy (a+2) là Bội chung của 3,4,5,6 
=>(a+2)=60k (với k thuôc N) 
vì a chia hết 11 nên 
60k chia 11 dư 2 
<=>55k+5k chia 11 dư 2 
<=>5k chia 11 dư 2 
<=>k chia 11 dư 7 
=>k=11d+7 (với d thuộc N) 
Suy ra số cần tìm là a=60k-2=60(11d+7)-2=660d+418 (với d thuộc N)