m.n/(m^2+n^2 ) và m.n/2018
- Đặt (m,n)=d => m= da;n=db ; (a,b)=1
=> d^2(a^2+b^2)/(d^2(ab))  = (a^2+b^2)/(ab) => b/a ; a/b => a=b=> m=n=> ( 2n^2+2018)/n^2 =2 + 2018/n^2 => n^2/2018
=> m=n=1 ; lẻ và nguyên tố cùng nhau. vì d=1

Vẽ SH _I_ (ABCD) => H là trung điểm AD => CD _I_ (SAD) 
Vẽ HK _I_ SD ( K thuộc SD) => CD _I_ HK => HK _I_ (SCD) 
Vẽ AE _I_ SD ( E thuộc SD). 
Ta có S(ABCD) = 2a² => SH = 3V(S.ABCD)/S(ABCD) = 3(4a³/3)/(2a²) = 2a 
1/HK² = 1/SH² + 1/DH² = 1/4a² + 1/(a²/2) = 9/4a² => HK = 2a/3 
Do AB//CD => AB//(SCD) => khoảng cách từ B đến (SCD) = khoảng cách từ A đến (SCD) = AE = 2HK = 4a/3

*)\(b^2+c^2=a^2\)

\(\Leftrightarrow b^2=a^2-c^2\)

\(\Leftrightarrow b=\sqrt{a^2-c^2}\)

Ta có: \(\sqrt{a^2-c^2}>c\Leftrightarrow a^2-c^2>c^2\)

\(\Leftrightarrow a^2>2c^2\)(luôn đúng)

=> c<b

*) \(a^2=b^2+c^2\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}c=3\\b=4\\a=5\end{cases}\Leftrightarrow c=b+1}\)

Áp dụng BĐT cô si với hai số không âm, Ta có: 

\(\left(a+b+c\right)^2=1\ge4a\left(b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow b+c\ge4a\left(b+c\right)^2\)

Mà \(\left(b+c\right)^2\ge4bc\forall b,c\ge0\)

\(\Rightarrow b+c\ge16abc\)

Dấu "=" xảy ra khi: 

\(\hept{\begin{cases}a+b+c=1\\b=c\\a=b+c\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{1}{2}\\b=c=\frac{1}{4}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)

\(\Leftrightarrow3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\ge9\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\ge6\)

Áp dụng BĐT Cô si với 2 số dương ta có: 

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2,\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2,\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\ge6\)(đúng) 

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)(do a+b+c=1)

Ta có: \(\frac{ab+c}{c+1}=\frac{ab+1-a-b}{c+a+b+c}=\frac{-b\left(1-a\right)+\left(1-a\right)}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}\)

\(=\frac{\left(1-a\right)\left(1-b\right)}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}=\frac{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}\)

\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}{a+c}+\frac{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}{b+c}\right)=\frac{a+b+2c}{4}\)

Tương tự: \(\frac{bc+a}{a+1}=\frac{b+c+2a}{4}\)

\(\frac{ca+b}{b+1}=\frac{c+a+2b}{4}\)

Cộng vế theo vế ta có: 

\(\frac{ab+c}{c+1}+\frac{bc+a}{a+1}+\frac{ca+b}{b+1}\le\frac{4a+4b+4c}{4}=a+b+c=1\)

Thiếu: 

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

\(\frac{1}{a+b}=\frac{1}{a+c};\frac{1}{a+c}=\frac{1}{b+c};\frac{1}{b+c}=\frac{1}{b+a};a+b+c=1\)

<=> a=b=c=1/3

thtfgfgfghggggggggggggggggggggg

Giúp mình với ạ TT!!!