Tìm cặp số nguyên x,y tm \(y^4=x\left(2y^2-1\right)\)
Cho \(x,y>0\) Tìm GTNN \(M=\frac{x^2+12}{x+y}+y\)
tìm cặp x, y tm:
\(\hept{\begin{cases}\sqrt{2x^2y-x^4y^2}-y^2+x^2\left(x-1\right)=0\\\sqrt{1+\left(x+y\right)^2}+x\left(2y+x^2\right)\le0\end{cases}}\)
1) Tìm GTNN của \(B=2\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\right)-5\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\\ \left(x,y>0\right)\)
2) Tìm GTLN và GTNN của \(C=\frac{\left(x^2-y^2\right)\left(1-x^2y^2\right)}{\left(1+x^2\right)^2\left(1+y^2\right)^2}\)
Cho 2 số x, y > 0 thoả mãn x+y = 1.
Tìm GTNN của \(P=\left(2x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(2y+\frac{1}{y}\right)^2\)
xin nhá xin nhá =))
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và giả thiết x+y=1 ta có :
\(P=\left(2x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(2y+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{\left(2x+\frac{1}{x}+2y+\frac{1}{y}\right)^2}{2}=\frac{\left[2\left(x+y\right)+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\right]^2}{2}\ge\frac{\left(2+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}=\frac{\left(2+4\right)^2}{2}=18\)
Đẳng thức xảy ra <=> x=y=1/2
Vậy ...
Cho biểu thức A= \(\frac{\left(x^2+y\right)\left(y+\frac{1}{4}\right)+x^2y^2+\frac{3}{4}\left(y+\frac{1}{3}\right)}{x^2y^2+1+\left(x^2-y\right)\left(1-y\right)}\)
a) Tìm đkxđ A
b) Chứng minh A không phụ thuộc vài x
c) Tìm GTNN của A
\(A\)xác định \(\Leftrightarrow x^2y^2+1+\left(x^2-y\right)\left(1-y\right)\ne0\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2+1+x^2-x^2y-y+y^2\ne0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2y^2+y^2\right)+\left(x^2+1\right)-\left(x^2y+y\right)\ne0\)
\(\Leftrightarrow y^2\left(x^2+1\right)+\left(x^2+1\right)-y\left(x^2+1\right)\ne0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left(y^2-y+1\right)\ne0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left[\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right]\ne0\)
Ta có: \(\hept{\begin{cases}x^2+1>0\forall x\\\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\forall y\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left[\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right]>0\forall x;y\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left[\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right]\ne0\forall x;y\)
\(\Leftrightarrow A\ne0\forall x;y\)
Cho x>0,y>0,z>0, xyz=1
Tìm GTNN
\(P=\frac{x^2\left(y+z\right)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{y^2\left(x+z\right)}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{z^2\left(x+y\right)}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}.\)
Ta có: \(x^2\left(y+z\right)\ge x^2.2\sqrt{yz}=2\sqrt{x^4}.\sqrt{\frac{1}{x}}=2x\sqrt{x}\)(Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số dương y,z và sử dụng giả thiết xyz = 1)
Hoàn toàn tương tự: \(y^2\left(z+x\right)\ge2y\sqrt{y};z^2\left(x+y\right)\ge2z\sqrt{z}\)
Do đó \(P=\frac{x^2\left(y+z\right)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{y^2\left(z+x\right)}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{z^2\left(x+y\right)}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
\(\ge\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Đặt \(a=x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}\), \(b=y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}\), \(c=z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}\)
Suy ra: \(x\sqrt{x}=\frac{4c+a-2b}{9}\), \(y\sqrt{y}=\frac{4a+b-2c}{9}\), \(z\sqrt{z}=\frac{4b+c-2a}{9}\)
Do đó \(P\ge\frac{2}{9}\left(\frac{4c+a-2b}{b}+\frac{4a+b-2c}{c}+\frac{4b+c-2a}{a}\right)\)
\(=\frac{2}{9}\left[4\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)-6\right]\)
\(\ge\frac{2}{9}\left[4.3\sqrt[3]{\frac{c}{b}.\frac{a}{c}.\frac{b}{a}}+3\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}-6\right]\)(Áp dụng BĐT Cô - si cho 3 số dương)
\(=\frac{2}{9}\left[4.3+3-6\right]=2\)
Vậy \(P\ge2\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
B1.Cho \(1\le x< y\le2\).Tìm GTLN của \(M=\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
B2.Cho x,y,z\(\ge0\)TM \(^{x^2+y^2+z^2=1.}\)Tìm GTNN và GTLN của \(T=\frac{x}{1-yz}+\frac{y}{1-zx}+\frac{z}{1-xy}\)
B3.Cho 2 số nguyên dương x,y TM \(x+y\le1\).Tìm GTNN của \(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{504}{xy}\)
Các bạn có thể giúp mình được không,mình sắp bị kiểm tra bài rồi.
Bài 2 bạn tham khảo cách làm của cô Linh Chi tại đây nhé :
Câu hỏi của nguyen trung nghia - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Học tốt và cá tháng tư đừng để bị troll nha !!!!!!!!!!!
B1:
\(M=\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
\(=2+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)
Nhờ dự đoán được điểm rơi,ta chứng minh bất đẳng thức sau luôn đúng:\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\le\frac{5}{2}\)
Thật vậy !!!
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\le\frac{5}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{y}{x}-2\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2x-y}{2y}+\frac{y-2x}{x}\le0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2x^2-xy+2y^2-4xy}{2xy}\le0\)
\(\Leftrightarrow2x^2-5xy+2y^2\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)\left(2x-y\right)\le0\) ( đúng )
Dấu "=" xảy ra tại \(x=1;y=2\)
Vậy \(M_{max}=\frac{9}{2}\Leftrightarrow x=1;y=2\)
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(true\right)\)
\(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{504}{xy}\)
\(=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1007}{2xy}\)
\(\ge\frac{4}{x^2+2xy+y^2}+\frac{1007}{2xy}\)
\(\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{1007}{2\left(\frac{x+y}{2}\right)^2}\)
\(\ge4+2014=2018\)
Dấu "=" xảy ra tại x=y=1/2
Vậy \(P_{min}=2018\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
Cho x,y > 0 thỏa mãn x+y=1.Tìm GTNN của biểu thức P=\(\left(2x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(2y+\frac{1}{y}\right)^2\)
Chứng minh BĐT phụ:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Giờ thì chứng minh thôi:3
Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz dạng engel ta có:
\(P=\left(2x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(2y+\frac{1}{y}\right)^2\)
\(\ge\frac{\left(2x+\frac{1}{x}+2y+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)
\(\ge\frac{\left(2x+2y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}\)
\(=\frac{\left[2\left(x+y\right)+\frac{4}{1}\right]^2}{2}\)
\(=8\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Vậy \(P_{min}=8\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
Bài này bạn làm đúng rồi nhưng mà bạn bị nhầm phép tính: \(\frac{\left[2\left(x+y\right)+\frac{4}{1}\right]^2}{2}=18\)
=> Min P=18
Tìm GTNN \(M=\frac{xy^2+y^2\left(y^2-x\right)+1}{x^2y^4+2y^4+x^2+2}\)
M nhỏ nhất khi mẫu bé nhất.mà
x2y4 ,2y4,x2>=0
x=y=0
m=1/2,tại x=y=0
Tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn: \(y^2+2.\left(x^2+1\right)=2y.\left(x+1\right)\)