a,  1, Vì |x - 2019| ≥ 0 ; (y - 1)²⁰²⁰ ≥ 0 => |x - 2019| + (y - 1)²⁰²⁰ ≥ 0 => |x - 2019| + (y - 1)²⁰²⁰​ + (-2) ≥ (-2) => A ≥ -2

Dấu " = " xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x-2019=0\\y-1=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=2019\\y=1\end{cases}}\)

Vậy GTNN A = -2 khi x = 2019 và y = 1

2, Ta có: |x - 3| = |3 - x|

Vì |x - 3| + |x + 4| ≥ |x - 3 + x + 4| = |1| = 1

=> C ≥ 1 - 5 => C ≥ -4

Dấu " = " xảy ra <=> (3 - x)(x + 4) ≥ 0

+) Th1: \(\hept{\begin{cases}3-x\ge0\\x+4\ge0\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x\le3\\x\ge-4\end{cases}\Rightarrow}-4\le x\le3\)

+) Th2: \(\hept{\begin{cases}3-x\le0\\x+4\le0\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x\ge3\\x\le-4\end{cases}}\)(Vô lý)

Vậy GTNN của C = -4 khi -4 ≤ x ≤ 3

b,

1, Vì |x² - 25| ≥ 0 => 4|x² - 25| ≥ 0 => 3² - 4|x² - 25| ≤ 3² = 9

Dấu " = " xảy ra <=> x² - 25 = 0 <=> x² = 25 <=> x = 5 hoặc x = -5

Vậy GTLN B = 9 khi x = 5 hoặc x = -5

2, Đk: x ≠ 5

 \(D=\frac{x-4}{x-5}=\frac{\left(x-5\right)+1}{x-5}=1+\frac{1}{x-5}\)

Để D mang giá trị lớn nhất <=> \(\frac{1}{x-5}\)mang giá trị lớn nhất <=> x - 5 mang giá trị nhỏ nhất <=> x - 5 = 1 <=> x = 6

=> \(D=1+1=2\)

Vậy GTLN của D = 2 khi x = 6

\(4B=4x^2+4xy+4y^2-8x-12y+8076\)

= \(\left(2y\right)^2-4y\left(3-x\right)+\left(3-x\right)^2-\left(3-x\right)^2\)

\(+\left(2x\right)^2-8x+8076\)

= \(\left(2y-3+x\right)^2+3x^2-2x+8076\)

đến đây thì dễ rồi

= -(x-1/2)² +1/4 +2

GTLN = 9/2

a) \(P=\frac{x^2}{x^4+x^2+1}\)

Vì x²; x⁴ và +1 đều lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi x ( trừ 1 :v )

suy ra P >= với mọi x

Mà x² < x⁴ + x² + 1

suy ra P <= 1

Dấu "=" xảy ra <=> P = 1

<=> x² = x⁴ + x² + 1

<=> x⁴ + x² + 1 - x² = 0

<=> x⁴ + 1 = 0

<=> x⁴ = -1

mà x⁴ >= với mọi x 

=> vô nghiệm

P.s : tìm đc Pmax khi <=> P = 0

<=> x² = 0

<=> x = 0

Vậy Pmax = 0 <=> x = 0

Nhầm đoạn P.s :

Tìm đc Pmin nha bạn :v

lí luận >= 0 như trên ta có P >= 0 với mọi x

Dấu "=" xảy ra <=> P = 0

<=> x² = 0 ( vì mẫu ko bao giờ = 0 đc )

<=> x = 0

Vậy Pmin = 0 <=> x = 0

Ta có :

\(3A=\frac{3x^2}{x^4+x^2+1}=\frac{x^4+x^2+1-x^4+2x^2-1}{x^4+x^2+1}=\frac{\left(x^4+x^2+1\right)-\left(x^2-1\right)^2}{x^4+x^2+1}\)

\(=1-\frac{\left(x^2-1\right)^2}{x^4+x^2+1}\le1\)

\(\Leftrightarrow3A\le1\Rightarrow A\le\frac{1}{3}\)có GTLN là \(\frac{1}{3}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=\pm1\)

Đặt \(y=\frac{x}{x^2+1}\Rightarrow y.\left(x^2+1\right)=x\Rightarrow yx^2+y-x=0\)

\(\Delta=1-4y^2\)

Để y xác định thì \(\Delta\ge0\Rightarrow1-4y^2\ge0\Leftrightarrow\frac{-1}{2}\le y\le\frac{1}{2}\)

Vậy GTNN của phân thức trên là -1/2 tại x=-1

       GTLN của phên thức trên là 1/2 tại x=1

Câu a :

Ta có :

\(x^2-x+3\)

\(=x^2-x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{11}{4}\)

\(=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{11}{4}\)

Do : \(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\Rightarrow\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{11}{4}\ge\dfrac{11}{4}\)

Vậy GTNN của biểu thức trên \(=\dfrac{11}{4}\)

Dấu \(=\) xảy ra khi \(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2=0\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}\)

Câu b :

Ta có :

\(-x^2+6-8\)

\(=-x^2+6x-9+1\)

\(=-\left(x^2-6x+9\right)+1\)

\(=-\left(x-3\right)^2+1\)

Do :

\(\left(x-3\right)^2\ge0\Rightarrow-\left(x-3\right)^2\le0\Rightarrow-\left(x-3\right)^2+1\le1\)

Vâỵ GTNN của biểu thức \(=11\)

Dấu \(=\) xảy ra khi \(\left(x-3\right)^2=0\Rightarrow x=3\)

có x^2-x+3=x^2-1/2*2*x+(1/2)^2+11/4=(x-1/2)^2+11/4

có (x-1/2)^2>hoặc =0suy ra(x-1/2)^2+11/4>hoặc=11/4

dấu =xảy ra khi x-1/2=0suy ra x=1/2

có -x^2+6x-8=-(x^2-6x+8)=-(x-3)^2+1

có-(x-3)^2>hoặc=0suy ra -(x-3)^2+1>hoặc=1

dấu = xảy ra khi x-3=0suy ra x=3

\(A=\frac{x+2}{\left|x\right|}\)

\(=\orbr{\begin{cases}1+\frac{2}{x}\le3\left(x=1\right)\\-1+\frac{2}{-x};x< 0\end{cases}}\)

Vậy GTLN của A bằng 3 tại x = 1.