\(VT-VP=\Sigma_{cyc}\frac{2a+b+c}{a^2b\left(a+b+c\right)}\left(a-b\right)^2\ge0\)

hay \(\frac{a}{c^2}+\frac{1}{a}\ge\frac{2}{c}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a}{c^2}\ge\frac{2}{c}-\frac{1}{a}\)\(\Rightarrow\)\(VT\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)

"=" \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)

\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{c+a}+\frac{c^3}{a+b}\)

\(=\frac{a^4}{ab+ac}+\frac{b^4}{cb+ba}+\frac{c^4}{ac+bc}\)

\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)

Mà \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\Rightarrowđpcm\)

\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{a^3}{b+c}+\frac{\left(b+c\right)^2}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{b+c}.\frac{a^3}{b+c}.\frac{\left(b+c\right)^2}{8}}=\frac{3a^2}{2}\)

Rồi tương tự các kiểu:v

Suy ra \(2VT\ge\frac{3}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)-\frac{\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2}{8}\)

\(\ge\frac{3}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)-\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=\left(a^2+b^2+c^2\right)\) (chú ý \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\))

Không phải dùng tới Cauchy-Schwarz:D

mình chưa hiểu?

có thể giải thích rõ hơn đc ko

\(a-b=\sqrt{1-b^2}-\sqrt{1-a^2}\Leftrightarrow a+\sqrt{1+a^2}=b+\sqrt{1+b^2}\)

Bình phương cả 2 vế: \(2a\sqrt{1+a^2}=2b\sqrt{1+b^2}\)

Tiếp tục bình phương: \(a^2+a^4=b^2+b^4\)

\(\Leftrightarrow a^2-b^2+\left(b^2-a^2\right)\left(a^2+b^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)\left(1-a^2-b^2\right)=0\)

Đến đây ta có: \(\orbr{\begin{cases}a=b\\a^2+b^2=1\end{cases}}\)

Nếu a=b sẽ có vô số a,b TMDK nên đề bài nên có thêm điều kiện a,b phân biệt

1) Không mất tính tổng quát, giả sử \(a\le b\le c\Rightarrow3=a+b+c\le3c\Rightarrow1\le c\le2\Rightarrow\left(c-1\right)\left(c-2\right)\le0\)

\(LHS=a^2+b^2+c^2=\left(a^2+2ab+b^2\right)+c^2-2ab\)

\(\le\left(a+b\right)^2+c^2=\left(3-c\right)^2+c^2\)

\(=2\left(c-1\right)\left(c-2\right)+5\le5\) 

Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;1;2\right)\) và các hoán vị.

2) Đề sai chỗ biểu thức M! Sao lại là M = x² + y² + x² (chỗ mình in đậm)

3) Đề cho x, y, z không âm mà sao lại bắt chứng minh với các biến a, b? Sửa đề lại hết đi rồi mình làm nốt!

Mình xin lỗi vì viết sai nhé, phải là:

1) Cho 0 ≤ a, b, c ≤ 2 và a + b + c = 3. Chứng minh a² + b² + c² ≤ 5
2) Cho -3 ≤ x, y, z ≤ 1, x + y + z = -1. Tính giá trị nhỏ nhất của M = x² + y² +z²
3) Cho các số dương a, b có tổng bằng 1. CMR: 

2) \(M\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\) :)) 

"=" \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z=\frac{-1}{3}\)

3) \(VT\ge\frac{\left(a+2b\right)^2}{3\left(a+2b\right)}+\frac{\left(b+2a\right)^2}{3\left(b+2a\right)}=a+b=1\)

"=" \(\Leftrightarrow\)\(a=b=\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{3}+b^2+4c^2-ab-2bc-2ca>0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{4}+\left(b^2+4bc+4c^2\right)-a\left(b+2c\right)+\frac{a^2}{12}-6bc>0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{4}+\left(b+2c\right)^2-a\left(b+2c\right)+\frac{a^2-36bc}{12}>0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}-b-2c\right)^2+\frac{a^3-36abc}{12a}>0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}-b-2c\right)^2+\frac{a^3-36}{12a}>0\) (1)

Do \(a^3>36\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a>0\\a^3-36>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\frac{a^3-36}{12a}>0\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\) luôn đúng