mình chỉ biết bài 4 thôi
Bài 4: Vì tổng bằng 1012 nên trong 3 số nguyên tố đó thì phải có 1 số nguyên tố là số chẵn. Nên số chẵn đó là 2 đồng thời là số nhỏ nhất. Vậy số 2 là số nguyên tố nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố đó

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên \(p=3k+1\) hoặc \(p=3k+2\) \(\left(k\inℕ^∗\right)\)

Nếu \(p=k+1\) thì \(2p+1=2.\left(3k+1\right)+1=6k+3\in3\) và \(6k+3>3\)

\(\Leftrightarrow2p+1\) là hợp số \(\left(loại\right)\)

Nếu \(p=3k+2\) . Khi đó \(4p+1=4.\left(3k+2\right)=1=12k+9\in3\)

Và \(12k+9>3\) nên là hợp số \(\left(nhận\right)\)

Lời giải:
Vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ nên $p$ không chia hết cho 3. Nghĩa là $p$ chia $3$ dư $1$ hoặc $2$. 

Nếu $p$ chia $3$ dư $1$ thì $2p+1=2(3k+1)+1=6k+3=3(2k+1)\vdots 3$. Mà $2p+1>3$ với mọi $p>3$ nên $2p+1$ không là snt (trái với đề) 

$\Rightarrow p$ chia $3$ dư $2$. Đặt $p=3k+2$ với $k\in\mathbb{N}$
$\Rightarrow 4p+1=4(3k+2)+1=12k+9=3(4k+3)\vdots 3$. Mà $4p+1>3$ nên $4p+1$ là hợp số.

 1) p nguyên tố > 3 => 10p không chia hết cho 3, gt có 10p+1 không chia hết cho 3 
10p, 10p+1, 10p+2 là 3 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số chia hết cho 3 
từ các lí luận trên => 10p+2 = 2(5p+1) chia hết cho 3 (*) 
mà 2 và 3 đều là những số nguêyn tố nên từ (*) => 5p+1 chia hết cho 3 
mặt khác p > 3 và nguyên tố nên p là số lẻ => 5p+1 là số chẳn => chia hết cho 2 
Vậy 5p+1 chia hết cho 2 và 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau 
=> 5p+1 chia hết cho 2*3 = 6 

Lời giải:

Vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ nên $(p,3)=1$. Khi đó $p$ có dạng $3k+1$ hoặc $3k+2$ với $k$ tự nhiên.

Nếu $p=3k+1$ thì: $2p+1=2(3k+1)+1=6k+3\vdots 3$. Mà $2p+1>3$ nên không thể là số nguyên tố (trái với giả thiết - loại) 

Do đó $p=3k+2$.

Khi đó: $4p+1=4(3k+2)+1=12k+9=3(4k+3)\vdots 3$. Mà $4p+1>3$ nên $4p+1$ là hợp số (đpcm)

Theo đề ra: p là số nguyên tố lớn hơn 3 => p không chia hết cho 3

=> p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2

* Với p = 3k + 1 thì:

2p + 1 = 2 . ( 3k + 1 ) + 1 = 6k + 2 + 1 = 6k + 3 = 3 . ( 2k + 1 )

=> 2p + 1 chia hết cho 3

Ta có: 2p + 1 > 3

=> 2p + 1 là hợp số ( loại )

* Với p = 3k + 2 thì:

4p + 1 = 4 . ( 3k + 2 ) + 1 = 12k + 8 + 1 = 12k + 9 = 3 . ( 4k + 3 )

=> 4p + 1 chia hết cho 3

Ta có: 4p + 1 > 3

=> 4p + 1 là hợp số

Vậy ...

Vì 9 là SNT ( số nguyên tố ) lớn 3

=> p khi chia cho 3 có 2 dạng: 

     p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 ( k thộc N* )

+) với: p = 3k + 1 => 2p + 1 = 2 . ( 3k + 1 ) + 1

                                          = 6k + 2 + 1 = 6k + 3 chia hết cho 3 và lớn hơn 3

=> 2p + 1 là hợp số ( loại )

Vậy: p = 3k + 2

=> 4p + 1 = 4 . ( 3k + 2 ) + 1

               = 12k + 8 + 1 = 12k + 9 chia hết cho 3 và lớn hơn 3

=> 4p + 1 là hợp số ( điều phải chứng minh )

Kết luận: 

p nguyên tố > 3

=> p chia 3 dư 1,2

=> 2p + 1 chia 3 dư 0, 2

Mà 2p+1 nguên tố <=> 2p+1 chia 3 dư 2 <=> p chia 3 dư 2

=> 4p+1 = 4(3k+2) + 1 = 12k + 8 + 1 = 12k + 9 chia hết cho 3

=> 4p+1 là hợp số

Ta có: 3k+1;3k+2

TH1:Nếu p=3k+1 thì 2p+1=2(3k+1)+1=6k+2+1=6k+3 là hợp số

TH2: Nếu p=3k+2 thì 2p+1=2(3k+1)+1=6k+4+1=6k+5 là số nguyên tố

Mà 4p + 1 = 4(3k+2)+1 = 12k + 8 + 1 = 12k + 9

 => 12k và 9 đều chia hêt cho 3 nên (12k+9) là hợp số 

Nên 4p+1 là hợp số

<=> đcpm