Cho a,b,c \(\le0\\\) thỏa mãn a+b+c \(\le3\)
Tìm GTLN của A= \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\)
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn \(a+b+c\le3\).Tìm Min của A=\(\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}+\frac{c}{1+c^2}\)
cho a,b,c>0 thỏa mãn\(\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+C+1}+\frac{1}{c+a+1}=2\)
Tìm GTLN của M=(a+b)(b+c)(c+a)
Từ gt \(\Rightarrow\frac{1}{a+b+1}=2-\frac{1}{b+c+1}-\frac{1}{c+a+1}=\frac{b+c}{b+c+1}+\frac{c+a}{c+a+1}\)
\(\ge2\sqrt{\frac{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(b+c+1\right)\left(c+a+1\right)}}\text{ }\left(1\right)\) (bđt Cauchy)
Tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{b+c+1}\ge2\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{\left(a+b+1\right)\left(a+c+1\right)}}\text{ }\left(2\right)\\\frac{1}{c+a+1}\ge2\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)}}\text{ }\left(3\right)\end{cases}}\)
Từ (1);(2);(3) \(\Rightarrow\frac{1}{a+b+1}.\frac{1}{b+c+1}.\frac{1}{c+a+1}\ge8\sqrt{\frac{\left(a+b\right)^2\left(a+c\right)^2\left(b+c\right)^2}{\left(a+b+1\right)^2\left(b+c+1\right)^2\left(c+a+1\right)^2}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)\left(c+a+1\right)}\ge8.\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)\left(c+a+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow1\ge8\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\le\frac{1}{8}\)Hay \(M\le\frac{1}{8}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{4}\)
Cho a,b,claf 3 số dương thỏa mãn điều kiện \(\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{a+c+1}=2\)
Tìm GTLN của tích (a+b)(b+c)(c+a)
Theo đề bài thì ta có:
\(\frac{1}{a+b+1}=1-\frac{1}{b+c+1}+1-\frac{1}{c+a+1}=\frac{b+c}{b+c+1}+\frac{c+a}{c+a+1}\)
\(\ge2.\sqrt{\frac{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(b+c+1\right)\left(c+a+1\right)}}\left(1\right)\)
Tương tự ta có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{b+c+1}\ge2.\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b+1\right)\left(c+a+1\right)}1}\left(2\right)\\\frac{1}{c+a+1}\ge2.\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)}}\left(3\right)\end{cases}}\)
Nhân (1), (2), (3) vế theo vế ta được
\(\frac{1}{a+b+1}.\frac{1}{b+c+1}.\frac{1}{c+a+1}\ge8.\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)\left(c+a+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\le\frac{1}{8}\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{4}\)
Cho a,b,c là 3 số nguyên dương thỏa mãn:
\(\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{a+c+1}=2\)
Tìm GTLN của (a+b)(b+c)(a+c)
cho a,b,c dương thỏa mãn \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le3\) .CMR \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}+\frac{1}{2}\left(ab+ac+bc\right)\ge3\)
cho a,b,c là số thực dương thỏa mãn \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le3.\)CMR : \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}+\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\ge3\)
\(\frac{a}{1+b^2}=\frac{a\left(1+b^2\right)-ab^2}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự:
\(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2};\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\)
Cộng lại:
\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge a+b+c-\frac{ab}{2}-\frac{bc}{2}-\frac{ca}{2}\)
\(\Rightarrow VT\ge a+b+c\)
Mặt khác:
\(\frac{9}{a+b+c}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le3\Rightarrow9\le3\left(a+b+c\right)\Rightarrow a+b+c\ge3\)
Khi đó:
\(VT\ge a+b+c\ge3\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=1\)
Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=9\). Tìm GTLN của biểu thức: \(P=\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a}\)
Lời giải :
\(P=\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a}\)
\(P=\frac{1}{9}\cdot\left(\frac{9}{a+b+b}+\frac{9}{b+c+c}+\frac{9}{c+a+a}\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy dạng \(\frac{9}{x+y+z}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)ta có :
\(P\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}+\frac{1}{c}+\frac{2}{a}\right)\)
\(=\frac{1}{9}\left(\frac{3}{a}+\frac{3}{b}+\frac{3}{c}\right)\)
\(=\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(=\frac{1}{3}\cdot9=3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
Theo Cauchy: \(\frac{1}{a+2b}=\frac{1}{a+b+b}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\right)\)
Tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế thu được:
\(P\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=3\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.
Vậy..
1,Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=abc.CMR:
\(\frac{bc}{a\left(1+bc\right)}+\frac{ca}{b\left(1+ca\right)}+\frac{ab}{c\left(1+ab\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
2,Cho a,b,c>0 thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\)
Tìm GTLN của P= \(\sqrt{\frac{a^2}{a^2+b+c}}+\sqrt{\frac{b^2}{b^2+c+a}}+\sqrt{\frac{c^2}{c^2+a+b}}\)
3,Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3.
Tìm GTLN của Q= \(2\sqrt{abc}\left(\frac{1}{\sqrt{3a^2+4b^2+5}}+\frac{1}{\sqrt{3b^2+4c^2+5}}+\frac{1}{\sqrt{3c^2+4a^2+5}}\right)\)
4,Cho a,b,c>0.
Tìm GTLN của P= \(\frac{\sqrt{ab}}{c+3\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{bc}}{a+3\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{ca}}{b+3\sqrt{ca}}\)
ko khó nhưng mà bn đăng từng câu 1 hộ mk mk giải giúp cho
gt <=> \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)
=> Thay vào thì \(VT=\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{xy}\right)}+\frac{1}{\frac{yz}{\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{yz}\right)}}+\frac{1}{\frac{zx}{\frac{1}{y}\left(1+\frac{1}{zx}\right)}}\)
\(VT=\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\)
Có BĐT x, y, z > 0 thì \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge9xyz\)Ta thay \(xy+yz+zx=1\)vào
=> \(x+y+z\ge9xyz=>\frac{x+y+z}{3}\ge3xyz\)
=> Từ đây thì \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{4}.\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{4}.\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
=> Ta có ĐPCM . "=" xảy ra <=> x=y=z <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\)
Đặt: \(\sqrt{a}=x;\sqrt{b}=y;\sqrt{c}=z\)
=> \(P=\frac{xy}{z^2+3xy}+\frac{yz}{x^2+3yz}+\frac{zx}{y^2+3zx}\)
=> \(3P=\frac{3xy}{z^2+3xy}+\frac{3yz}{x^2+3yz}+\frac{3zx}{y^2+3zx}=1-\frac{z^2}{z^2+3xy}+1-\frac{x^2}{x^2+3yz}+1-\frac{y^2}{y^2+3zx}\)
Ta sẽ CM: \(3P\le\frac{9}{4}\)<=> Cần CM: \(\frac{x^2}{x^2+3yz}+\frac{y^2}{y^2+3zx}+\frac{z^2}{z^2+3xy}\ge\frac{3}{4}\)
Có: \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\)
Ta sẽ CM: \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{3}{4}\)
<=> \(4\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)+9\left(xy+yz+zx\right)\)
<=> \(4\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+zx\right)\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)+9\left(xy+yz+zx\right)\)
<=> \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
Mà đây lại là 1 BĐT luôn đúng => \(3P\le\frac{9}{4}\)=> \(P\le\frac{3}{4}\)
Vậy P max \(=\frac{3}{4}\)<=> \(a=b=c\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge2\)
Tìm GTLN của biểu thức A = abc
Lớn hơn hoặc bằng hay là bằng?
\(\frac{1}{a+1}\ge\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
tương tự rồi nhân theo vế thôi nhé đệ =))