Tìm x , y , z thỏa man điều kiện \(\hept{\begin{cases}x+y=\sqrt{4z-1}\\y+z=\sqrt{4x-1}\\z+x=\sqrt{4y-1}\end{cases}}\)
câu 2: giải hệ phương trình \(\hept{\begin{cases}x+y=\sqrt{4z-1}\\y+z=\sqrt{4x-1}\\x+z=\sqrt{4y-1}\end{cases}}\)
áp dụng bđt \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\),dấu "=" xảy ra <=>a=b
\(\sqrt{\left(4x-1\right).1}\le\frac{1+4x-1}{2}=2x\)
Tương tự \(\sqrt{\left(4y-1\right).1}\le\frac{1+4y-1}{2}=2y;\sqrt{\left(4z-1\right).1}\le\frac{1+4z-1}{2}=2z\)
Cộng theo vế:
=>\(2\left(x+y+z\right)\ge\sqrt{4x-1}+\sqrt{4y-1}+\sqrt{4z-1}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\sqrt{4x-1}=1\\\sqrt{4y-1}=1\\\sqrt{4z-1}=1\end{cases}}< =>x=y=z=\frac{1}{2}\)
Giai hệ phương trình sau:
1.\(\hept{\begin{cases}x+y=\sqrt{4z-1}\\y+z=\sqrt{4x-1}\\z+x=\sqrt{4y-1}\end{cases}}\)
Ta có
\(\sqrt{4x-1}\le\frac{1+4x-1}{2}=2x\)
\(\sqrt{4y-1}\le2y\)
\(\sqrt{4z-1}\le2z\)
Cộng vế theo vế ta được
\(\sqrt{4x-1}+\sqrt{4y-1}+\sqrt{4z-1}\le2\left(x+y+z\right)\)
Theo đề bài ta có khi cộng pt (1), (2), (3) vế theo vế thì được
\(\sqrt{4x-1}+\sqrt{4y-1}+\sqrt{4z-1}=2\left(x+y+z\right)\)
Dấu = xảy ra khi x = y = z = \(\frac{1}{2}\)
Giải hệ phương trình \(\hept{\begin{cases}\frac{4x}{1+4x}=\sqrt{y}\\\frac{4y}{1+4y}=\sqrt{z}\\\frac{4z}{1+4z}=\sqrt{x}\end{cases}}\)
giải hệ phương trình sau:
\(\hept{\begin{cases}\frac{4x}{1+4x}=\sqrt{y}\\\frac{4y}{1+4y}=\sqrt{z}\\\frac{4z}{1+4z}=\sqrt{x}\end{cases}}.\)
Giả sử \(y\ge z\Rightarrow\frac{4x}{1+4x}\ge\frac{4y}{1+4y}\Leftrightarrow1-\frac{1}{1+4x}\ge1-\frac{1}{1+4y}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+4x}\le\frac{1}{1+4y}\Leftrightarrow1+4x\ge1+4y\Leftrightarrow x\ge y\)
\(\Rightarrow\frac{4z}{1+4z}\ge\frac{4x}{1+4x}\).Tương tự:\(z\ge x\).Nên \(x=y=z\).
Thế vào mà giải nhé
cho \(\hept{\begin{cases}x+y=\sqrt{4z-1}\\y+z=\sqrt{4x-1}\\z+x=\sqrt{4y-1}\end{cases}}\) TÍNH \(\left(4x-3\right)^{2012}+\left(4y-3\right)^{2013}+\left(4z-1\right)^{2014}\)
Điều kiện \(x,y,z\ge\frac{1}{4}\)
Cộng các phương trình trong hệ được :
\(2\left(x+y+z\right)=\sqrt{4x-1}+\sqrt{4y-1}+\sqrt{4z-1}\)
\(\Leftrightarrow4\left(x+y+z\right)=2\sqrt{4x-1}+2\sqrt{4y-1}+2\sqrt{4z-1}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{4x-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{4y-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{4z-1}-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{4x-1}-1=0\\\sqrt{4y-1}-1=0\\\sqrt{4z-1}-1=0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}\)
Từ đó thay vào yêu cầu đề bài để tính.
câu 1: Giải và biện luận hệ phương trình:\(\hept{\begin{cases}2\left(m-1\right)\cdot x+y=2\\\left(m+2\right)\cdot x+\left(m-1\right)\cdot y=3\end{cases}}\)
câu 2: giải hệ phương trình \(\hept{\begin{cases}x+y=\sqrt{4z-1}\\y+z=\sqrt{4x-1}\\x+z=\sqrt{4y-1}\end{cases}}\)
Giải hệ phương trình:
1.\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+xy=1\\x^3+y^3=x+3y\end{cases}}\)
2.\(\hept{\begin{cases}x+y=\sqrt{4z-1}\\y+z=\sqrt{4x-1}\\z+x=\sqrt{4y-1}\end{cases}}\)
3.\(\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)\left(x^2-y^2\right)=45\\\left(x-y\right)\left(x^2+y^2\right)=85\end{cases}}\)
4.\(\hept{\begin{cases}x^3+2y^2-4y+3=0\\x^2+x^2y^2-2y=0\end{cases}}\)
5. \(\hept{\begin{cases}2x^3+3x^2y=5\\y^3+6xy^2=7\end{cases}}\)
tìm bộ ba số (x,y,z) thỏa mãn:
\(\hept{\begin{cases}x+y+z\le9\\\sqrt{x-1}+\sqrt{y-2}+\sqrt{z-3}+5x+4y+3z=xy+yz+xz+11\end{cases}}\)
1.Giải hệ pt
1)\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3\\xy+yz+zx=3\\\frac{1}{1+x+xy}+\frac{1}{1+y+yz}+\frac{1}{1+z+zx}=x\end{cases}}\)
2)\(\hept{\begin{cases}xy+yz+zx=3\\\left(x+y\right)\left(y+z\right)=\sqrt{3}z\left(1+y^2\right)\\\left(y+z\right)\left(z+x\right)=\sqrt{3}x\left(1+z^2\right)\end{cases}}\)
3)\(\hept{\begin{cases}xy+yz+zx=3\\1+x^2\left(y+z\right)+xyz=4y\\1+y^2\left(z+x\right)+xyz=4z\end{cases}}\)