Cho \(\Delta ABC\)cân tại A. Một điểm P di động trên BC. Qua P vẽ PQ//AC (\(Q\in AB\)) và PR//AB (\(R\in AC\)). Tìm quỹ tích các điểm D đối xứng với P qua QR.
Những câu hỏi liên quan
Cho tam giác ABC cân tại A và D là một điểm thuộc cạnh BC. Kẻ DM song song với AB (M thuộc AC), DN song song với AC (N thuộc AB). Gọi D' là điểm đối xứng của D qua MN. Tìm quỹ tích điểm D' khi điểm D di động trên BC.
Điểm quỹ tích của D' là BC
Điểm quỹ tích của D' là BC
a: Xét tứ giác AMDN có
AM//DN
AN//DM
Do đó: AMDN là hình bình hành
=>Hai đường chéo AD và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
hay A và D đối xứng nhau qua O
Xem thêm câu trả lời
Cho tam giác ABC cân tại A, gọi D là một điểm di động nằm trên đáy BC. đường thẳng vuông góc với BC và đi qua D cắt AB tại E và cắt AC tại F. Vẽ các hình chữ nhật BDEH và FDCK. Chứng minh H và K đối xứng nhau qua A.
Từ một điểm P nằm trên cạnh đáy BC của tam giác ABC vẽ các tia Px, Py song song với các cạnh AB, AC cắt AC tại Q, R. Gọi D là điểm đối xứng với P qua QR. Chứng minh rằng D nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Từ một điểm M tùy ý trên dây BC, kẻ các đường thẳng song song với AC và AB, chúng cắt AB và AC lần lượt tại P và Q. Gọi D là điểm đối xứng của M qua đường thẳng PQ.
Chứng minh: D nằm trên đường tròn (O).
Lời giải:
Ta có:
$PM\parallel AC$ nên $\widehat{PMB}=\widehat{ACB}$
Mà $\widehat{ACB}=\widehat{ABC}=\widehat{PBM}$ do tam giác $ABC$ cân nên $\widehat{PMB}=\widehat{PBM}$
$\Rightarrow \triangle PBM$ cân tại $P$
$\Rightarrow PB=PM$
Mà $PM=PD$ do tính đối xứng
$\Rightarrow PB=PM=PD$ nên $P$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $(DBM)$
$\Rightarrow \widehat{BDM}=\frac{1}{2}\widehat{BPM}$ (tính chất góc nt và góc ở tâm cùng chắn 1 cung)
$=\frac{1}{2}\widehat{BAC}$
Tương tự, $Q$ cũng là tâm ngoại tiếp $(DCM)$
$\Rightarrow \widehat{MDC}=\frac{1}{2}\widehat{MQC}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}$
Như vậy:
$\widehat{BDC}=\widehat{BDM}+\widehat{MDC}=\widehat{BAC}$
Kéo theo $D\in (ABC)$
Ta có đpcm.
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho ∆ABC vuông tại A và M là điểm bất kỳ trên cạnh BC.Gọi P là điểm đối xứng của M qua AB,MP cắt AB,MP cắt AB tại D;gọi Q là điểm đối xứng của M qua AC,MQ cắt AC tại E.a)Các tứ giác ADME và BCQP là hình gì?Tại sao?b)Cho AB6cm,AC8cm.Tính độ dài BC và diện tích ∆ABC.c)Chứng minh A là trung điểm của đoạn PQ.d)Tìm vị trí của M trên cạnh BC để chu vi tứ giác BCQP đạt giá trị nhỏ nhất
Đọc tiếp
Cho ∆ABC vuông tại A và M là điểm bất kỳ trên cạnh BC.Gọi P là điểm đối xứng của M qua AB,MP cắt AB,MP cắt AB tại D;gọi Q là điểm đối xứng của M qua AC,MQ cắt AC tại E.
a)Các tứ giác ADME và BCQP là hình gì?Tại sao?
b)Cho AB=6cm,AC=8cm.Tính độ dài BC và diện tích ∆ABC.
c)Chứng minh A là trung điểm của đoạn PQ.
d)Tìm vị trí của M trên cạnh BC để chu vi tứ giác BCQP đạt giá trị nhỏ nhất
a) Dễ thấy tứ giác ADME có 3 góc vuông nên nó là hình chữ nhật.
Tam giác PBM co BP là đường trung trực nên nó là tam giác cân. Vậy thì BP là phân giác hay \(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\)
Tương tự \(\widehat{C_1}=\widehat{C_2}\) mà \(\widehat{B_1}+\widehat{C_1}=90^o\) nên \(\widehat{PBM}+\widehat{MCQ}=2\left(\widehat{B_1}+\widehat{C_1}\right)=180^o\)
Chúng lại ở vị trí trong cùng phía nên PB // QC
Vậy BCQP là hình thang.
b) Áp dụng Pi-ta-go : \(BC=\sqrt{6^2+8^2}=10\left(cm\right)\)
\(S_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.AC=\frac{1}{2}.6.8=24\left(cm^2\right)\)
c) Do AB là trung trực PM nên AP = AM
Tương tự AQ = AM nên AP = AQ.
Lại có \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2};\widehat{A_3}=\widehat{A_4}\) mà \(\widehat{A_2}+\widehat{A_3}=90^o\Rightarrow\widehat{A_1}+\widehat{A_2}+\widehat{A_3}+\widehat{A_4}=180^o\)
hay A, P, Q thẳng hàng.
Từ đó ta có A là trung điểm PQ.
d) Gọi AH là đường cao hạ từ A xuống BC.
Ta có
\(P_{PBCQ}=PQ+PB+BC+CQ=2AM+PB+BM+MC+CQ=2AM+2BC=2\left(AM+BC\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta thấy \(AM+BC\ge2\sqrt{AM.BC}\)
mà AM là đường xiên nên \(AM\ge AH\)
Vậy thì \(AM+BC\ge2\sqrt{AM.BC}\ge2\sqrt{AH.BC}=2\sqrt{AB.AC}\)
Vậy thì \(minP_{PBCQ}=2\sqrt{AB.AC}\) khi M là chân đường cao hạ từ A xuống BC.
Đúng 2
Bình luận (0)
Cho \(\Delta ABC\) cân tại A, M là điểm bất kì trên BC. Qua M kẻ các đường thẳng song với AB, AC lần lượt cắt AC, AB ở D và E. Gọi N là điểm đối xứng với M qua E. C/minh: Tứ giác ANED là hình bình hành.
Cho nửa (O; R) đường kính AB. C là điểm di động trên nửa đường tròn. E à hình chiếu của C trên AB, H và K lần lượt là điểm đối xứng với E qua AC và BC, EH cắt AC tại P; EK cắt BC tại Q.
vẽ cho mình hình với
Cho nửa (O; R) đường kính AB. C là điểm di động trên nửa đường tròn. E à hình chiếu của C trên AB, H và K lần lượt là điểm đối xứng với E qua AC và BC, EH cắt AC tại P; EK cắt BC tại Q.
vẽ cho mình hình với
Cho đường tròn $(O;R)$ và dây cung $BCRsqrt3$ cố định. Điểm $A$ di động trên cung lớn $BC$ sao cho $triangle{ABC}$ nhọn. Gọi $E$ là điểm đối xứng với $B$ qua $AC$ và $F$ là điểm đối xứng với $C$ qua $AB$. Các đường tròn ngoại tiếp $triangle{ABE}$ và $triangle{ACF}$ cắt nhau tại $K$ ($K$ không trùng với $A$). Gọi $H$ là giao điểm của $BE$ và $CF$.a) Chứng minh $KA$ là phân giác trong $widehat{BKC}$ và tứ giác $BHCK$ nội tiếp.b) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác $BHCK$ lớn nhất, tính diệ...
Đọc tiếp
Cho đường tròn $(O;R)$ và dây cung $BC=R\sqrt3$ cố định. Điểm $A$ di động trên cung lớn $BC$ sao cho $\triangle{ABC}$ nhọn. Gọi $E$ là điểm đối xứng với $B$ qua $AC$ và $F$ là điểm đối xứng với $C$ qua $AB$. Các đường tròn ngoại tiếp $\triangle{ABE}$ và $\triangle{ACF}$ cắt nhau tại $K$ ($K$ không trùng với $A$). Gọi $H$ là giao điểm của $BE$ và $CF$.
a) Chứng minh $KA$ là phân giác trong $\widehat{BKC}$ và tứ giác $BHCK$ nội tiếp.
b) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác $BHCK$ lớn nhất, tính diện tích lớn nhất của tứ giác đó theo $R$.
c) Chứng minh $AK$ luôn đi qua một điểm cố định.