Áp dụng Côsi:

\(a^4+a^4+a^4+1\ge4\sqrt[4]{\left(a^4\right)^3}=4a^3\)

\(\Rightarrow3\left(a^4+b^4+c^4+d^4\right)\ge4\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)-1\)

Ta chứng minh: \(a^3+b^3+c^3+d^3\ge4\)

Theo Côsi: \(a^3+1+1\ge3\sqrt[3]{a^3}=3a\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+d^3+2.4\ge3\left(a+b+c+d\right)=3.4\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+d^3\ge4\)

\(\Rightarrow3\left(a^4+b^4+c^4+d^4\right)\ge4\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)-4\ge3\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge a^3+b^3+c^3+d^3\)

b, Ta có \(m=a+b+c\)

          \(\Rightarrow am+bc=a\left(a+b+c\right)+bc=a\left(a+b\right)+ac+bc=\left(a+c\right)\left(a+b\right)\)

CMTT \(bm+ac=\left(b+c\right)\left(b+a\right)\);\(cm+ab=\left(c+a\right)\left(c+b\right)\)

Suy ra \(\left(am+bc\right)\left(bm+ac\right)\left(cm+ab\right)=\left(a+b\right)^2\left(a+c\right)^2\left(b+c\right)^2\)

A + B = (a + b - 5) + (b - c - 9) = a + 2b - c - 14

C + D = (b - c - 4) + (-b + a) = a - b - c - 4

Ta thấy A + B = C + D = a + 2b - c - 14 = a - b - c - 4

Vậy A+B = C+D(điều phải chứng minh)

giúp mình nhé tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi lớp

Lời giải:

Có $4$ số $a,b,c,d$ và $3$ số dư có thể xảy ra khi chia một số cho $3$ là $0,1,2$

Do đó áp dụng nguyên lý Dirichlet tồn tại ít nhất \(\left [ \frac{4}{3} \right ]+1=2\) số có cùng số dư khi chia cho 3

Không mất tổng quát giả sử đó là \(a,b\Rightarrow a-b\vdots 3\)

\(\Rightarrow (b-a)(c-a)(d-a)(d-c)(d-b)(c-b)\vdots 3\)

Mặt khác:

Trong 4 số $a,b,c,d$

Giả sử tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho $4$ là $a,b$

\(\Rightarrow a-b\vdots 4\Rightarrow (b-a)(c-a)(d-a)(d-c)(d-b)(c-b)\vdots 4\)

Nếu $a,b,c,d$ không có số nào có cùng số dư khi chia cho 4. Khi đó giả sử $a,b,c,d$ có số dư khi chia cho $4$ lần lượt là $0,1,2,3$

\(\Rightarrow c-a\vdots 2; d-b\vdots 2\)

\(\Rightarrow (b-a)(c-a)(d-a)(d-c)(d-b)(c-b)\vdots 4\)

Như vậy, tích đã cho vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 4. Do đó no cũng chia hết cho 12

Ta có đpcm,

Lời giải:

Có 44 số a,b,c,da,b,c,d và 33 số dư có thể xảy ra khi chia một số cho 33 là 0,1,20,1,2

Do đó áp dụng nguyên lý Dirichlet tồn tại ít nhất [43]+1=2[43]+1=2 số có cùng số dư khi chia cho 3

Không mất tổng quát giả sử đó là a,b⇒a−b⋮3a,b⇒a−b⋮3

⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮3⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮3

Mặt khác:

Trong 4 số a,b,c,da,b,c,d

Giả sử tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho 44 là a,ba,b

⇒a−b⋮4⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮4⇒a−b⋮4⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮4

Nếu a,b,c,da,b,c,d không có số nào có cùng số dư khi chia cho 4. Khi đó giả sử a,b,c,da,b,c,d có số dư khi chia cho 44 lần lượt là 0,1,2,30,1,2,3

⇒c−a⋮2;d−b⋮2⇒c−a⋮2;d−b⋮2

⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮4⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮4

Như vậy, tích đã cho vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 4. Do đó no cũng chia hết cho 12

Cho 4 số nguyên phân biệt a,b,c,d. Chứng minh rằng : (a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d) chia hết cho 12

 Giải

Không mất tổng quát giả sử đó là a,b⇒a−b⋮3

⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮3

Mặt khác:

Trong 4 số a,b,c,d

Giả sử tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho 4 là a,b

⇒a−b⋮4⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮4

Nếu a,b,c,d không có số nào có cùng số dư khi chia cho 4. Khi đó giả sử a,b,c,d có số dư khi chia cho 4 lần lượt là 0,1,2,3

⇒c−a⋮2;d−b⋮2

⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮4

Như vậy, tích đã cho vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 4. Do đó no cũng chia hết cho 12

Ta có đpcm,

BĐT này do giáo sư Vasile đề xuất, và đây là lời giải của ông ấy:

Do vai trò của các biến là như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(a^2=max\left\{a^2;b^2;c^2;d^2\right\}\)

\(\Rightarrow a^2\ge\dfrac{b^2+c^2+d^2}{3}\)

Đặt \(x^2=\dfrac{b^2+c^2+d^2}{3}\Rightarrow x^2\le a^2\) (1)

Đồng thời \(x^2=\dfrac{b^2+c^2+d^2}{3}\ge\dfrac{1}{9}\left(b+c+d\right)^2=\dfrac{a^2}{9}\Rightarrow a^2\le9x^2\) (2)

\(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\left(a^2-x^2\right)\left(a^2-9x^2\right)\le0\) (3)

Ta có:

\(b^4+c^4+d^4=\left(b^2+c^2+d^2\right)^2-2\left(b^2c^2+c^2d^2+b^2d^2\right)\le\left(b^2+c^2+d^2\right)^2-\dfrac{2}{3}\left(bc+cd+bd\right)^2\)

\(=\left(b^2+c^2+d^2\right)^2-\dfrac{1}{6}\left[\left(b+c+d\right)^2-\left(b^2+c^2+d^2\right)\right]^2=9x^4-\dfrac{1}{6}\left(a^2-3x^2\right)^2=\dfrac{45x^4+6a^2x^2-a^4}{6}\)

Do đó:

\(12\left(a^4+b^4+c^4+d^4\right)\le12a^4+12.\dfrac{45x^4+6a^2x^2-a^4}{6}=90x^4+12a^2x^2+10a^4\)

Nên ta chỉ cần chứng minh:

\(7\left(a^2+3x^2\right)^2\ge90x^4+12a^2x^2+10a^4\)

\(\Leftrightarrow a^4-10a^2x^2+9x^4\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-9x^2\right)\left(a^2-x^2\right)\le0\) (đúng theo (3))

Vậy BĐT được chứng minh hoàn tất.

Dấu "=" xảy ra khi \(b=c=d=-\dfrac{a}{3}\) và các hoán vị của chúng

j vậy bẹn, đây là sinh lớp 7 mak :v ?