Có:

\(x\sqrt{x}+y\sqrt{y}-x\sqrt{y}-y\sqrt{x}\ge0\)

\(x\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)-y\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\ge0\)

\(\left(x-y\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\ge0\)

\(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\ge0\)

\(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\ge0\)  (luôn đúng)

Dấu = xảy ra khi x=y

chứng minh rằng với mọi x,y ∈Q ta luôn có: |x+y|≤|x|+|y|

\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng với \(\forall x,y\))

-Vậy BĐT đã được c/m.

-Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)

ta co

vt (x+y)²=x2+y2+2xy

=x2-2xy+y2+4xy≥ 4xy (dpcm)

\(\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)+4xy+2\left(x+y\right)\left(1+xy\right)\)

\(=1+x^2+y^2+x^2y^2+4xy+2\left(x+y\right)\left(1+xy\right)\)

\(=\left(x^2+y^2+2xy\right)+\left(x^2y^2+2xy+1\right)+2\left(x+y\right)\left(1+xy\right)\)

\(=\left(x+y\right)^2+\left(1+xy\right)^2+2\left(x+y\right)\left(1+xy\right)\)

\(=\left(x+y+1+xy\right)^2\) là SCP

(1+x²)(1+y²)+4xy+2(x+y)(1+xy)

 = 1+y²+x²+x²y²+2xy+2xy+2(x+y)(1+xy)

 =(x²+2xy+y²)+(x²y²+2xy+1)+2(x+y)(1+xy)

 =(x+y)²+(xy+1)²+2(x+y)(1+xy)

 =(x+y+xy+1)²

Lấy z là trung bình cộng của x và y:

z = (x + y)/2

z là số hữu tỉ vì nó có thể biểu diễn được thành phân số có tử số và mẫu số là số nguyên. Dễ dạng chứng minh được:

x < (x + y)/2 < y

thanks

a) Ta có : \(|x+y|\le|x|+|y|\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\le\left(|x|+|y|\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+2.x.y+y^2\le x^2+2.|x|.|y|+y^2\)

\(\Leftrightarrow xy\le|x||y|\)

Do bất đẳng thức cuối đúng nên bất đẳng thức đầu đúng.

Dấu bằng xảy ra khi \(xy=|x||y|\Rightarrow xy\ge0\)

b) Từ câu (a) ta có:  \(|x-y|+|y|\ge|x-y+y|=|x|\)

\(\Rightarrow|x-y|\ge|x|-|y|\)

Dấu bằng xảy ra khi A-B và B cùng dấu.

Thực hiện phép nhân đa thức với đa thức ở vế trái

=> VT = VP (đpcm)