\(\text{Cho a, b, c }\ge0\text{ thỏa mãn }a+b+c=1\)
\(\text{CMR: }a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}\ge\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Cho \(a,b,c\text{ }\ge0\) thỏa \(a+b+c=3\).Chứng minh:
\(3\le a\sqrt{b^3+1}+b\sqrt{c^3+1}+c\sqrt{a^3+1}\le5\)
Ta có:
\(b\ge0\Rightarrow b^3+1\ge1\Rightarrow a\sqrt{b^3+1}\ge a\)
Hoàn toàn tương tự: \(b\sqrt{c^3+1}\ge b\) ;\(c\sqrt{a^3+1}\ge c\)
Cộng vế:
\(P\ge a+b+c=3\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;3\right)\) và hoán vị
Lại có:
\(a\sqrt{b^3+1}=a\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\le\dfrac{a\left(b^2+2\right)}{2}\)
Tương tự: \(b\sqrt{c^3+1}\le\dfrac{b\left(c^2+2\right)}{2}\) ; \(c\sqrt{a^3+1}\le\dfrac{c\left(a^2+2\right)}{2}\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+a+b+c=\dfrac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2+2abc\right)+3\)
Nên ta chỉ cần chứng minh: \(Q=ab^2+bc^2+ca^2+2abc\le4\)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(a=mid\left\{a;b;c\right\}\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a-c\right)\le0\Leftrightarrow a^2+bc\le ab+ac\)
\(\Rightarrow ca^2+bc^2\le abc+ac^2\)
\(\Rightarrow Q\le ab^2+ac^2+2abc=a\left(b+c\right)^2=\dfrac{1}{2}.2a\left(b+c\right)\left(b+c\right)\le\dfrac{1}{54}\left(2a+2b+2c\right)^3=4\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;2;0\right)\) và 1 số hoán vị của chúng
Các thiên tài toán học ơi giải hộ mình bài này với ạ!
Cảm ơn !
Bài 1 (1 đ) : Cho ba số không âm \(a,b,c\) thỏa mãn \(a+c\ge b\) và \(\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{c}\text{=}\sqrt{a-b+c}\) . Tính giá trị của biểu thức : \(A\text{=}a^{2021}-b^{2021}+c^{2021}-\left(a+b+c\right)^{2021}\)
Đề bài mình sửa lại : A = a2021 - b2021 + c2021 - (a - b + c)2021
Ta có \(\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{c}=\sqrt{a-b+c}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c-2\sqrt{ab}-2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}=a-b+c\)
\(\Leftrightarrow b-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{b}\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)-\sqrt{c}\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right).\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}b=c\\b=a\end{matrix}\right.\)
Với b = c
A = a2021 - b2021 + c2021 - (a - b + c)2021
= a2021 - a2021
= 0
Tương tự với b = a ta được A = 0
Vậy A = 0
Nếu không sửa thì
P = a2021 - (a + 2b)2021 khi b = c
hoặc P = c2021 - (2b + c)2021 khi b = a
và giá trị của P còn phụ thuộc vào a,b,c , không phải là hằng số .
sao lại sửa đề là thế nào á anh đề bài người ta cho như vậy mà anh !
Cho 3 số dương a;b;c thoả mãn : \(\sqrt{a^2+b^2}\text{+}\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\text{=}\sqrt{2011}\)
Chứng minh rằng : \(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2011}{2}}\)
Cho các số thực không âm a,b,ca,b,c thoả mãn a+b+c=1a+b+c=1. Chứng minh rằng :
\(\sqrt{a+\frac{\left(b-c\right)^2}{4}}+\sqrt{b+\frac{\left(c-a\right)^2}{4}}+\sqrt{c+\frac{\left(a-b\right)^2}{4}}\le\sqrt{3}+\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\text{|
}a-b\text{|
}\right)+\text{|
}b-c\text{|
}+\text{|
}c-a\text{|
}.\)
Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn: a+b+c=\(\frac{3}{4}\), CMR: \(\frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b+3c}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c+3\text{a}}}\ge3\)
Cho a b c dương thỏa mãn a+b+c=3 CMR
\(\frac{a}{\sqrt{b+1}}+\frac{b}{\sqrt{c+1}}+\frac{c}{\sqrt{a+1}}\ge\frac{3\sqrt{2}}{2}\)
Ta co:
\(\sqrt{2\left(b+1\right)}\le\frac{b+3}{2}\Rightarrow\frac{a}{\sqrt{2\left(b+1\right)}}\ge\frac{2a}{b+3}\)
Tuong tu:\(\frac{b}{\sqrt{2\left(c+1\right)}}\ge\frac{2b}{c+3};\frac{c}{\sqrt{2\left(a+1\right)}}\ge\frac{2c}{a+3}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{a}{\sqrt{b+1}}+\frac{b}{\sqrt{c+1}}+\frac{c}{\sqrt{a+1}}\right)\ge2\left(\frac{a}{b+3}+\frac{b}{c+3}+\frac{c}{a+3}\right)\)
\(\frac{a}{b+3}+\frac{b}{c+3}+\frac{c}{a+3}\)
\(=\frac{a^2}{ab+3a}+\frac{b^2}{bc+3b}+\frac{c^2}{ca+3c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca+9}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+9}=\frac{9}{\frac{9}{3}+9}=\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{a}{b+3}+\frac{b}{c+3}+\frac{c}{a+3}\right)\ge\frac{3}{2}\)
Hay \(\frac{a}{\sqrt{b+1}}+\frac{b}{\sqrt{c+1}}+\frac{c}{\sqrt{a+1}}\ge\frac{3\sqrt{2}}{2}\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=c=3\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1.CMR:
\(\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\)
doan thi khanh linh câm cái mồm đi.đã ngu lại còn thích k
áp dụng co si ta có:
\(\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}}\ge\frac{2\sqrt{bc}}{\sqrt{a}}+\frac{2\sqrt{ca}}{\sqrt{b}}+\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{c}}\)
\(=\left(\frac{\sqrt{bc}}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{ca}}{\sqrt{b}}\right)+\left(\frac{\sqrt{ca}}{\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{c}}\right)+\left(\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{c}}+\frac{\sqrt{bc}}{\sqrt{a}}\right)\)
\(\ge2\sqrt{a}+2\sqrt{b}+2\sqrt{c}=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)
\(\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\)
\(\Rightarrow Q.E.D\)
Cho 3 số thực dương a,b.c thỏa mãn abc=1 cmr:\(\dfrac{b+c}{\sqrt{a}}+\dfrac{c+a}{\sqrt{b}}+\dfrac{a+b}{\sqrt{c}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\)
cho a;b;c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3.CMR:\(\sqrt{\frac{a}{3b^2+1}}+\sqrt{\frac{b}{3c^2+1}}+\sqrt{\frac{c}{3a^2+1}}\ge\frac{3}{2}\)
Sang học 24 tìm ai tên Perfect Blue nhé t làm bên đó rồi đưa link thì lỗi ==" , tìm tên đăng nhập springtime ấy