Ta có: \(43^{43}=43^{40}.43^3\)

Lại có: 43⁴⁰tận cùng 1; 43³ tận cùng 7

=>43⁴³tận cùng 7(*)

           17¹⁷=17¹⁶.17

Mà 17¹⁶tận cùng 1

=>17¹⁷tận cùng 7(**)

Từ (*) và (**) suy ra 43⁴³-17¹⁷tận cùng 0

\(\Rightarrow43^{43}-17^{17}⋮10\)

Số có tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa mũ 4n có tận cùng là 1

Do đó 4343 = 434.10+3=434.10.433= ( .....1 ) . ( ......7 ) = .....7

số có tận cùng là 7 khi nâng lên lúy thùa mũ 4n có tận cũng là 1

Do đó 1717=174.4+1 = 174.4.17= ( ....... 1 ) . ( ........7 ) = .......7

4343-1717 = ......7 - .......7 = ........0 

Số có tận cùng là 0 chia hết cho 10

Vậy 4343-1717 chia hết cho 10 ( dpcm 

Ta có: \(43^{43}=\left(43^4\right)^{10}.43^3=\left(...01\right)^{10}.43^3=\left(...1\right).79507=\left(...7\right)\\ \)

    \(17^{17}=\left(17^4\right)^4.17=\left(...01\right)^4.17=\left(...1\right).17=\left(...7\right)\)

\(\Rightarrow43^{43}-17^{17}=\left(...7\right)-\left(...7\right)=\left(...0\right)⋮10\)

ta có : 
43^1 =43. tận cùng là số 3 
43^2= 1849 tận cùng là số 9 
43^3 =79507 tận cùng là số 7 
43^4 =3418801 tận cùng là số 1 
43^5 = 147008443 tiếp tục tận cùng là số 3 
vậy quy luật của nó cứ lặp đi lặp lại theo dãy 4 số 3 - 9 - 7 - 1 
ta có 43 chia 4 dư 3. vậy tận cùng của số 43^43 là 7 
tương tự ta có số tận cùng của 17^17 là 7. 
vậy thì 43^43 - 17^17 ra số có tận cùng là 0. mà số có tận cùng là 0 thì luôn chia hết cho 10 (điều phải chứng minh)

43^1 =43. tận cùng là số 3 
43^2= 1849 tận cùng là số 9 
43^3 =79507 tận cùng là số 7 
43^4 =3418801 tận cùng là số 1 
43^5 = 147008443 tiếp tục tận cùng là số 3 
vậy quy luật của nó cứ lặp đi lặp lại theo dãy 4 số 3 - 9 - 7 - 1 
ta có 43 chia 4 dư 3. vậy tận cùng của số 43^43 là 7 
tương tự ta có số tận cùng của 17^17 là 7. 
vậy thì 43^43 - 17^17 ra số có tận cùng là 0. mà số có tận cùng là 0 thì luôn chia hết cho 10 (điều phải chứng minh)

Ta có:

43⁴ đồng dư với 1(mod 10)

=>(43⁴)¹⁰ đồng dư với 1¹⁰(mod 10)

=>43⁴⁰ đồng dư với 1(mod 10)

=>43⁴⁰.43³ đồng dư với  1.43³(mod 10)

=>43⁴³ đồng dư với 43³(mod 10)

mà 43³ đồng dư với 7(mod 10)

=>43⁴³ đồng dư với 7(mod 10)

=>43⁴³:10(dư 7)(1)

Lại có:

17² đồng dư với 9(mod 10)

=>17² đồng dư với -1(mod 10)

=>(17²)⁸ đồng dư với (-1)⁸(mod 10)

=>17¹⁶ đồng dư với 1(mod 10)

=>17¹⁶.17 đồng dư với 1.17(mod 10)

=>17¹⁷ đồng dư với 17(mod 10)

mà 17 đồng dư với 7(mod 10)

=>17¹⁷ đồng dư với 7(mod 10)

=>17¹⁷:10(dư 7)(2)

Từ (1) và (2) ta có:

43⁴³-17¹⁷:10(dư 0)

=>ĐPCM

Ta thấy:43 đồng dư với 3(mod 10)

=>43² đồng dư với 3²(mod 10

=>43² đồng dư với 9(mod 10)

=>43² đồng dư với -1(mod 10)

=>(43²)²¹ đồng dư với (-1)²¹(mod 10)

=>43⁴² đồng dư với -1(mod 10)

=>43⁴² đồng dư với 9(mod 10)

=>43⁴².43 đồng dư với 9.43(mod 10)

=>43⁴³ đồng dư với 7(mod 10)

            17 đồng dư với 7(mod 10)

=>17² đồng dư với 7²(mod 10)

=>17² đồng dư với 9(mod 10)

=>17² đồng dư với -1(mod 10)

=>(17²)⁸ đồng dư với (-1)⁸(mod 10)

=>17¹⁶ đồng dư với 1(mod 10)

=>17¹⁶.17 đồng dư với 1.17(mod 10)

=>17¹⁷ đồng dư với 7(mod 10)

      =>49⁴⁹-17¹⁷ đồng dư với 7-7(mod 10)

      =>49⁴⁹-17¹⁷ đồng dư với 0(mod 10)

=>49⁴⁹-17¹⁷ chia hết cho 10

=>ĐPCM

Áp dụng tính chất:

(....3)⁴ⁿ = (....1)  và (....7)⁴ⁿ = (....1)   . kí hiệu (...3) là số có tận cùng là chữ số 3

Ta có: 43⁴³ = 43⁴⁰ .43³ = (....1).(...7) = (....7)

17¹⁷ = 17¹⁶. 17 = (....1).17 = (...7)

=> 43⁴³ - 17¹⁷ = (.....0) chia hết cho 10

vậy...

Số có tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa mũ 4n có tận cùng là 1

Do đó 43⁴³ = 43^4.10+3=43^4.10.43³= ( .....1 ) . ( ......7 ) = .....7

số có tận cùng là 7 khi nâng lên lúy thùa mũ 4n có tận cũng là 1

Do đó 17¹⁷=17^4.4+1 = 17^4.4.17= ( ....... 1 ) . ( ........7 ) = .......7

43⁴³-17¹⁷ = ......7 - .......7 = ........0 

Số có tận cùng là 0 chia hết cho 10

Vậy 43⁴³-17¹⁷ chia hết cho 10 ( dpcm )

Gõ link này là có: http://olm.vn/hoi-dap/question/1081594.html