\(2\left(x^2+2\right)=5\sqrt{x^3+1}\left(1\right)\)

\(\text{ĐKXĐ}:x^3+1\ge0\Leftrightarrow x\ge-1\)

(*) <=> 4(x² + 2)² = 25( x³ + 1 ) 

<=> 4( x⁴ + 4x² + 4 ) = 25(x³ + 1) 

<=> 4x⁴ + 16x² + 16 = 25x³ + 25 

<=> 4x⁴ - 25x³ + 16x² - 9 = 0 

<=> 4x⁴ - 5x³ - 20x³ + 3x² + 25x² - 12x² + 15x - 15x - 9 = 0 

<=> 4x⁴ - 5x³ + 3x² - 20x³ + 25x² - 15x - 12x² + 15x - 9 = 0 

<=> x²( 4x² - 5x + 3 ) - 5x( 4x² - 5x + 3 ) - 3(4x² - 5x + 3 ) = 0 

<=> ( x² - 5x - 3)( 4x² - 5x + 3 ) = 0 

tới đây delta hoặc vi-ét thì tùy

\(\Leftrightarrow x=\frac{5+\sqrt{37}}{2}\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{5-\sqrt{37}}{2}\)

sửa (*) thành (1) nhé

(*) <=> 4(x² + 2)² = 25( x³ + 1 ) 

<=> 4( x⁴ + 4x² + 4 ) = 25(x³ + 1) 

<=> 4x⁴ + 16x² + 16 = 25x³ + 25 

<=> 4x⁴ - 25x³ + 16x² - 9 = 0 

<=> 4x⁴ - 5x³ - 20x³ + 3x² + 25x² - 12x² + 15x - 15x - 9 = 0 

<=> 4x⁴ - 5x³ + 3x² - 20x³ + 25x² - 15x - 12x² + 15x - 9 = 0 

<=> x²( 4x² - 5x + 3 ) - 5x( 4x² - 5x + 3 ) - 3(4x² - 5x + 3 ) = 0 

<=> ( x² - 5x - 3)( 4x² - 5x + 3 ) = 0 

tới đây delta hoặc vi-ét thì tùy

$\Leftrightarrow x=\frac{5+\sqrt{37}}{2}$⇔x=5+√372 

$\Leftrightarrow x=\frac{5-\sqrt{37}}{2}$⇔x=5−√372

A=(x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y4

A=(x+y)(x+4y).(x+2y)(x+3y)+y4

A=(x2+5xy+4y2)(x2+5xy+6y2)+y4

A=(x2+5xy+ 5y2 - y2 )(x2+5xy+5y2+y2)+y4

A=(x2+5xy+5y2)2-y4+y4

A=(x2+5xy+5y2)2

Do x,y,Z nen x2+5xy+5y2 Z

​A là số chính phương 

a) Ta có: A= (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y⁴

                = (x² + 5xy + 4y²)( x² + 5xy + 6y²) + y² 
Đặt x² + 5xy + 5y² = h ( h
thuộc Z):
A = ( h - y²)( h + y²) + y² = h² – y² + y² = h² = (x² + 5xy + 5y²)²
Vì x, y, z
thuộc Z nên x² thuộc 
Z, 5xy
thuộc Z, 5y² thuộc
Z . Suy ra x² + 5xy + 5y² thuộc 
Z
Vậy A là số chính phương.

Ta có: n³ + 3n² + 2018n = (n³ + 3n² + 2n) + 2016n

Xét (n³ + 3n² + 2n) (1); 2016n (2)

Xét (n³ + 3n² + 2n) (1), có:

n³ + 3n² + 2n

<=> (n³ + n²) + (2n² + 2n)

<=> n²(n + 1) + 2n(n + 1)

<=> (n + 1)(n² + 2n) <=> n(n + 1)(n + 2)

Vì n là số nguyên, nên: n(n + 1)(n + 2) là tích của 3 số nguyên liên tiếp.

=> Vậy sẽ tồn tại số chia hết cho 2 (vì n(n + 1) là tích 2 số nguyên liên tiếp)

=> Vậy sẽ tồn tại số chia hết cho 3 (vì n(n + 1)(n + 2) là tích 3 số nguyên liên tiếp)

=> (n³ + 3n² + 2n) chia hết cho cho 6 (vì 6 = 2.3 và ƯC{2;3}∈{1}).(3)

Xét 2016n (2) có: 2016 ⋮ 6 và n là số nguyên, nên 2016n ⋮ 6. (4)

Từ (3) và (4), suy ra (n³ + 3n² + 2n) + 2016n ⋮ 6

<=> n³ + 3n² + 2018n ⋮ 6 (đpcm)

Với mọi n nguyên dương ta có:

\(\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)=1\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)

Với k nguyên dương thì 

\(\frac{1}{\sqrt{k-1}+\sqrt{k}}>\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}\Rightarrow\frac{2}{\sqrt{k-1}+\sqrt{k}}>\frac{1}{\sqrt{k-1}+\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}=\sqrt{k}-\sqrt{k-1}+\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\)

\(=\sqrt{k+1}-\sqrt{k-1}\)(*)

Đặt A = vế trái. Áp dụng (*) ta có:

\(\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}>\sqrt{3}-\sqrt{1}\)

\(\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}>\sqrt{5}-\sqrt{3}\)

...

\(\frac{2}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}>\sqrt{81}-\sqrt{79}\)

Cộng tất cả lại

\(2A=\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+....+\frac{2}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}>\sqrt{81}-1=8\Rightarrow A>4\left(đpcm\right)\)

3. 

Theo bất đẳng thức cô si ta có: 

\(\sqrt{b-1}=\sqrt{1.\left(b-1\right)}\le\frac{1+b-1}{2}=\frac{b}{2}\Rightarrow a.\sqrt{b-1}\le\frac{a.b}{2}\)

Tương tự \(\Rightarrow b.\sqrt{a-1}\le\frac{a.b}{2}\Rightarrow a.\sqrt{b-1}+b.\sqrt{a-1}\le a.b\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=2\)

1.

ĐKXĐ: \(x< 5\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{42}{5-x}}-3+\sqrt{\dfrac{60}{7-x}}-3=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\dfrac{42}{5-x}-9}{\sqrt{\dfrac{42}{5-x}}+3}+\dfrac{\dfrac{60}{7-x}-9}{\sqrt{\dfrac{60}{7-x}}+3}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{9x-3}{\left(5-x\right)\left(\sqrt{\dfrac{42}{5-x}}+3\right)}+\dfrac{9x-3}{\left(7-x\right)\left(\sqrt{\dfrac{60}{7-x}}+3\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(9x-3\right)\left(\dfrac{1}{\left(5-x\right)\left(\sqrt{\dfrac{42}{5-x}}+3\right)}+\dfrac{1}{\left(7-x\right)\left(\sqrt{\dfrac{60}{7-x}}+3\right)}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{3}\)

b.

ĐKXĐ: \(x\ge2\)

\(\sqrt{\left(x-2\right)\left(x-1\right)}+\sqrt{x+3}=\sqrt{x-2}+\sqrt{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-2\right)\left(x-1\right)}-\sqrt{x-2}+\sqrt{x+3}-\sqrt{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-2}\left(\sqrt{x-1}-1\right)-\sqrt{x+3}\left(\sqrt{x-1}-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}-1\right)\left(\sqrt{x-2}-\sqrt{x+3}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x-1}-1=0\\\sqrt{x-2}-\sqrt{x+3}=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=1\\x-2=x+3\left(vn\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x=2\)

3.

ĐKXĐ: \(x\ge-1\)

\(x^2+x-12+12\left(\sqrt{x+1}-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x+4\right)+\dfrac{12\left(x-3\right)}{\sqrt{x+1}+2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x+4+\dfrac{12}{\sqrt{x+1}+2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x-3=0\)

\(\Leftrightarrow x=3\)

Bài 2 chia đa thức cho đa thức ta được số dư là 6-a(7-2a)

 để đa thức 2x² + 7x + 6 chia hết cho x+a thì 6-a(7-2a)=0

=>6-7a+2a²=0

<=>2a²-4a-3a+6=0

<=>2a(a-2)-3(a-2)=0

<=>(a-2)(2a-3)=0

=> a=2 hoặc a=3/2

Vậy vớia=2 hoặc a=3/2 thì đa thức 2x² + 7x + 6 chia hết cho x+a

bài 1

n lẻ nên đặt n=2k+1 (k thuộc Z)

Ta có n³-3n²-n+3=n²(n-3)-(n-3)

=(n-3)(n-1)(n+1)

=(2k+1-3)(2k+1-1)(2k+1+1)

=2k(2k+2)(2k-2)

=8.(k-1).k.(k+1)

Vì (k-1).k.(k+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 mà (2;3)=1 nên chia hết cho 6 

Ta có 48=6.8 nên 8.k(k+1)(k-1) chia hết cho 48 hay n³-3n²-n+3chia hết cho 48