a) \(A=4+4^2+4^3+...+4^{60}=4\left(1+4+4^2+...+4^{59}\right)⋮4\)

b) \(A=4+4^2+4^3+...+4^{60}=4\left(1+4\right)+4^3\left(1+4\right)+...+4^{59}\left(1+4\right)=4.5+4^3.5+...+4^{59}.5=5\left(4+4^3+...+4^{59}\right)⋮5\)

c) \(A=4+4^2+4^3+...+4^{60}=4\left(1+4+4^2\right)+4^4\left(1+4+4^2\right)+...+4^{58}\left(1+4+4^2\right)=4.21+4^4.21+...+4^{58}.21=21\left(4+4^4+...+4^{58}\right)⋮21\)

\(A=4+4^2+4^3+.....+4^{60}\)

\(A=\left(1+4+4^2\right)+4^3.\left(1+4+4^2\right)+....4^{57}.\left(1+4+4^2\right)\)

\(A\)\(=21+4^3.21+...4^{57}.21\)

\(\Rightarrow A⋮4;21\)

ko chia hết cho 5

a:Ta có: \(A=4+4^2+4^3+...+4^{60}\)

\(=4\left(1+4+4^2+...+4^{59}\right)⋮4\)

b: Ta có: \(A=4+4^2+4^3+...+4^{60}\)

\(=4\left(1+4\right)+4^3\left(1+4\right)+...+4^{59}\left(1+4\right)\)

\(=5\cdot\left(4+4^3+...+4^{59}\right)⋮5\)

 a) Ta thấy \(999993^{1999}⋮̸5\) và \(55555^{1997}⋮5\) nên \(999993^{1999}-55555^{1997}⋮̸5\), mâu thuẫn đề bài.

 b) 

Ta có \(17^{25}=17^{4.6+1}=17.\left(17^4\right)^6=17.\overline{A1}=\overline{B7}\) có chữ số tận cùng là 7. \(13^{21}=13^{4.5+1}=13.\left(13^4\right)^5=13.\overline{C1}=\overline{D3}\) có chữ số tận cùng là 3. \(24^4=4^4.6^4=\overline{E6}.\overline{F6}=\overline{G6}\) có chữ số tận cùng là 6 nên \(17^{25}-13^{21}+24^4\) có chữ số tận cùng là chữ số tận cùng của \(7-3+6=10\) hay là 0. Vậy \(17^{25}-13^{21}+24^4⋮10\)

c) Cách làm tương tự câu b.

1) A = 120a + 36b

=> A = 12.10.a + 12.3.b

=> A = 12.(10a+3b)

Do 12.(10a+3b) \(⋮\)12

nên 120a+36b \(⋮\)12

2) Gọi (2a+7b) là (1)

         (4a+2b) là (2)

Xét (1), ta có: 2a+7b = 2.(2a+7b) = 4a + 14b (3)

Lấy (3) - (1), ta có: (4a+14b) - (4a+2b) = 12b \(⋮\)3

Hay 4a+2b chia hết cho 3 

3) Gọi (a+b) là (1)

          (a+3b) là (2)

Lấy (2) - (1), ta có: (a+3b) - (a+b) = 2b \(⋮\)2

Hay (a+3b) chia hết cho 2

a, 10615 + 8 không chia hết cho 2 vì 8 ⋮ 2  nhưng 10615 không chia hết cho 2

10615 + 8 không chia hết cho 9 vì 1 + 6 + 1 + 5 + 8 = 21 không chia hết cho 9

c,    B = 10²⁰¹⁰ -  4                                                                                   

       10 \(\equiv\) 1 (mod 3)

      10²⁰¹⁰ \(\equiv\) 1²⁰¹⁰ (mod 3)

      4          \(\equiv\) 1(mod 3)

⇒ 10²⁰¹⁰ - 4   \(\equiv\) 1²⁰¹⁰ - 1 (mod 3)

⇒ 10²⁰¹⁰ - 4   \(\equiv\)  0 (mod 3)

⇒ 10²⁰¹⁰ - 4 \(⋮\) 3

b, B = 10²⁰¹⁰ + 14 

Xét tổng các chữ có trong B là : 1 + 0 x 2010 + 4 = 6 ⋮ 3 ⇒ B ⋮ 3

B = 10²⁰¹⁰ + 14 = \(\overline{..0}\) + 4 = \(\overline{..4}\) ⋮ 2 vậy B ⋮ 2 

Mình chỉ làm được ý 3 thôi: 

A = 2¹ + 2² + 2³ + ................ + 2¹²⁰

Chứng minh chia hết cho 7

A = 2¹ + 2² + 2³ + ................ + 2¹²⁰

A = (2¹ + 2² + 2³) + (2⁴ + 2⁵ + 2⁶) + ................ + (2¹¹⁸ + 2¹¹⁹ + 2¹²⁰)

A = 2.(1 + 2 + 4) + 2⁴.(1 + 2 + 4) + ................. + 2¹¹⁸.(1 + 2 + 4)

A = 2.7 + 2⁴ . 7 + ................ + 2¹¹⁸.7

A = 7.(2 + 2⁴ + ........... + 2¹¹⁸)

Chứng minh chia hết cho 31

A = 2¹ + 2² + 2³ + ................ + 2¹²⁰ 

A = (2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵) + (2⁶ + 2⁷ + 2⁸ + 2⁹ + 2¹⁰) + ................ + (2¹¹⁶ + 2¹¹⁷ + 2¹¹⁸ + 2¹¹⁹ + 2¹²⁰)

A = 2.(1 + 2 + 4 + 8 + 16) + 2⁶.(1 + 2 +4 + 8 + 16) + ............. + 2¹¹⁶.(1 + 2 + 4 + 8 + 16)

A = 2.31 + 2⁶.31 + ....... + 2¹¹⁶ . 31

A = 31.(2 + 2⁶ + ........... + 2¹¹⁶)

A = 2¹ + 2² + 2³ + ................ + 2¹²⁰

Chứng minh chia hết cho 7

A = 2¹ + 2² + 2³ + ................ + 2¹²⁰

A = (2¹ + 2² + 2³) + (2⁴ + 2⁵ + 2⁶) + ................ + (2¹¹⁸ + 2¹¹⁹ + 2¹²⁰)

A = 2.(1 + 2 + 4) + 2⁴.(1 + 2 + 4) + ................. + 2¹¹⁸.(1 + 2 + 4)

A = 2.7 + 2⁴ . 7 + ................ + 2¹¹⁸.7

A = 7.(2 + 2⁴ + ........... + 2¹¹⁸)

Chứng minh chia hết cho 31

A = 2¹ + 2² + 2³ + ................ + 2¹²⁰ 

A = (2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵) + (2⁶ + 2⁷ + 2⁸ + 2⁹ + 2¹⁰) + ................ + (2¹¹⁶ + 2¹¹⁷ + 2¹¹⁸ + 2¹¹⁹ + 2¹²⁰)

A = 2.(1 + 2 + 4 + 8 + 16) + 2⁶.(1 + 2 +4 + 8 + 16) + ............. + 2¹¹⁶.(1 + 2 + 4 + 8 + 16)

A = 2.31 + 2⁶.31 + ....... + 2¹¹⁶ . 31

A = 31.(2 + 2⁶ + ........... + 2¹¹⁶)

Bài 3: 

a: =>4n-2-3 chia hết cho 2n-1

=>\(2n-1\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)

hay \(n\in\left\{1;0;2;-1\right\}\)

b: =>-3 chia hết cho 2n-1

=>\(2n-1\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)

hay \(n\in\left\{1;0;2;-1\right\}\)

b) ab+ba

Ta có:ab=10a+b

          ba=10b+a

 ab+ba=10a+b+10b+a

           =  11a  + 11b

Ta thấy: 11a⋮11   ;   11b⋮11

=>ab+ba⋮11 (ĐPCM)

Bài 1: 

a) P=(a+5)(a+8) chia hết cho 2

Nếu a chẵn => a+8 chẵn=> a+8 chia hết cho 2 => (a+5)(a+8) chia hết cho 2

Nếu a lẽ => a+5 chẵn => a+5 chia hết cho 2 => (a+5)(a+8) chia hết cho 2

Vậy P luôn chia hết cho 2 với mọi a

b) Q= ab(a+b) chia hết cho 2

Nếu a chẵn => ab(a+b) chia hết cho 2

Nếu b chẵn => ab(a+b) chia hết cho 2

Nếu a và b đều lẽ => a+b chẵn => ab(a+b) chia hết cho 2

Vậy Q luôn chia hết cho 2 với mọi a và b

bài 3:n⁵- n= n(n-1)(n+1)(n²+1)=n(n-1)(n+1)(n²+5-4)=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5n(n-1)(n+1).

Vì: n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) là 5 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 10                   (1)

ta lại có: n(n+1) là 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2

=> 5n(n-1)n(n+1) chia hết cho 10                                                                     (2)

Từ (1) và (2) => n⁵- n chia hết cho 10

a) a lẻ suy ra a+5 chia hết cho 2

a chẵn suy ra a+8 chia hết cho 2