Giúp mình nhanh nhé, mai cô kt r

Ai bik ko trả lời với ạ

\(-2x+4\sqrt{x}+1\)

\(=-2\left(x-2\sqrt{x}+1\right)+3\)

\(=-2\left(\sqrt{x}-1\right)^2+3\le3\left(\forall x\ge0\right)\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\sqrt{x}-1=0\Leftrightarrow\sqrt{x}=1\Leftrightarrow x=1\)

Câu 1:

Tìm max:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:

\(y^2=(3\sqrt{x-1}+4\sqrt{5-x})^2\leq (3^2+4^2)(x-1+5-x)\)

\(\Rightarrow y^2\leq 100\Rightarrow y\leq 10\)

Vậy \(y_{\max}=10\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi \(\frac{\sqrt{x-1}}{3}=\frac{\sqrt{5-x}}{4}\Leftrightarrow x=\frac{61}{25}\)

Tìm min:

Ta có bổ đề sau: Với $a,b\geq 0$ thì \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq \sqrt{a+b}\)

Chứng minh:

\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq \sqrt{a+b}\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\geq a+b\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{ab}\geq 0\) (luôn đúng).

Dấu "=" xảy ra khi $ab=0$

--------------------

Áp dụng bổ đề trên vào bài toán ta có:

\(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}\geq \sqrt{(x-1)+(5-x)}=2\)

\(\sqrt{5-x}\geq 0\)

\(\Rightarrow y=3(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x})+\sqrt{5-x}\geq 3.2+0=6\)

Vậy $y_{\min}=6$

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} (x-1)(5-x)=0\\ 5-x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=5\)

Bài 2:

\(A=\sqrt{(x-1994)^2}+\sqrt{(x+1995)^2}=|x-1994|+|x+1995|\)

Áp dụng BĐT dạng \(|a|+|b|\geq |a+b|\) ta có:

\(A=|x-1994|+|x+1995|=|1994-x|+|x+1995|\geq |1994-x+x+1995|=3989\)

Vậy \(A_{\min}=3989\)

Đẳng thức xảy ra khi \((1994-x)(x+1995)\geq 0\Leftrightarrow -1995\leq x\leq 1994\)

Bài 3:

Ta thấy:

\(2x-x^2+7=8-(x^2-2x+1)=8-(x-1)^2\leq 8, \forall x\in\mathbb{R}\)

\(\Rightarrow 2+\sqrt{2x-x^2+7}\leq 2+\sqrt{8}=2+2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow B=\frac{3}{2+\sqrt{2x-x^2+7}}\geq \frac{3}{2+2\sqrt{2}}\)

Vậy GTNN của $B$ là \(\frac{3}{2+2\sqrt{2}}\).

Đẳng thức xảy ra tại \((x-1)^2=0\Leftrightarrow x=1\)

Theo đề bài, ta có:

x3+y3=x2−xy+y2x3+y3=x2−xy+y2

hay (x2−xy+y2)(x+y−1)=0(x2−xy+y2)(x+y−1)=0

⇒\orbr{x2−xy+y2=0x+y=1⇒\orbr{x2−xy+y2=0x+y=1

+ Với x2−xy+y2=0⇒x=y=0⇒P=52x2−xy+y2=0⇒x=y=0⇒P=52

+ với x+y=1⇒0≤x,y≤1⇒P≤1+√12+√0+2+√11+√0=4x+y=1⇒0≤x,y≤1⇒P≤1+12+0+2+11+0=4

Dấu đẳng thức xảy ra <=> x=1;y=0 và P≥1+√02+√1+2+√01+√1=43P≥1+02+1+2+01+1=43

Dấu đẳng thức xảy ra <=> x=0;y=1

Vậy max P=4 và min P =4/3

a . ta có : \(1\le1+\sqrt{2-x}\Rightarrow GTNN=1\)

\(-2\le\sqrt{x-3}-2\Rightarrow GTNN=-2\)

b. \(0\le\sqrt{4-x^2}\le2\)

\(\sqrt{2x^2-x+3}=\sqrt{2\left(x^2-\frac{x}{2}+\frac{1}{16}\right)+\frac{23}{8}}=\sqrt{2\left(x-\frac{1}{4}\right)^2+\frac{23}{8}}\ge\frac{\sqrt{46}}{4}\)

vậy \(GTNN=\frac{\sqrt{46}}{4}\)

ta có : \(0\le-x^2+2x+5=-\left(x-1\right)^2+6\le6\)

\(\Rightarrow1-\sqrt{6}\le1-\sqrt{-x^2+2x+5}\le1\)Vậy \(\hept{\begin{cases}GTNN=1-\sqrt{6}\\GTLN=1\end{cases}}\)

*Max
Xét `P-4`
`=(4\sqrtx+3-4x-4)/(x+1)`
`=(-4x+4\sqrtx-1)/(x+1)`
`=(-(2\sqrtx-1)^2)/(x+1)<=0`
`=>P<=1`
Dấu "=" `<=>2\sqrtx=1<=>x=1/4`
*Min
Xét `P+1`
`=(4\sqrtx+3+x+1)/(x+1)`
`=(x+4\sqrtx+4)/(x+1)`
`=(\sqrtx+2)^2/(x+1)>=0`
`=>P>=-1`
Dấu "=" `<=>\sqrtx+2=0<=>\sqrtx=-2`(vô lý)
=>Không có giá trị nhỏ nhất.

\(\sqrt{2x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\le\dfrac{1}{2}\left(x+y+x+z\right)=\dfrac{1}{2}\left(2x+y+z\right)\)

Tương tự: \(\sqrt{2y+xz}\le\dfrac{1}{2}\left(x+2y+z\right)\) ; \(\sqrt{2z+xy}\le\dfrac{1}{2}\left(x+y+2z\right)\)

Cộng vế:

\(P\le\dfrac{1}{2}\left(4x+4y+4z\right)=4\)

\(P_{max}=4\) khi \(x=y=z=\dfrac{2}{3}\)

P = \(1.\sqrt{2x+yz}+1.\sqrt{2y+xz}+1.\sqrt{2z+xy}\)

\(\le\sqrt{\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(2x+yz+2y+xz+2z+xy\right)}\)

\(=\sqrt{3.\left(4+xy+yz+zx\right)}\)

Đã biết x² + y² + z² \(\ge\)xy + yz + zx

=> xy + yz + zx \(\le\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)

Khi đó \(P\le\sqrt{3\left(4+xy+yz+zx\right)}\le\sqrt{3\left[4+\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\right]}\)

= 4 

Dấu "=" xảy ra <=> x = 2/3 

\(\sqrt{2x+yz}=\sqrt{\left(x+y+z\right)x+yz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\le\dfrac{x+2y+z}{2}\\ \Leftrightarrow P=\sum\sqrt{2x+yz}\le\dfrac{x+2y+z+2x+y+z+x+y+2z}{2}=\dfrac{4\left(x+y+z\right)}{2}=2\cdot2=4\)

Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{2}{3}\)

P = \(1.\sqrt{2x+yz}+1.\sqrt{2y+xz}+1.\sqrt{2z+xy}\)

\(\le\sqrt{\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(2x+yz+2y+xz+2z+xy\right)}\)(Bunyacovski)

\(=\sqrt{3\left[4+\left(xy+yz+zx\right)\right]}\)

\(\le\sqrt{3.\left[4+\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\right]}=\sqrt{3.\left(4+\dfrac{4}{3}\right)}\) = 4

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 2/3