Bài 1: CMR: \(A=x^2.\left(x+1\right)+2x.\left(x+1\right)⋮6\) với mọi \(x\in Z\)
a. CMR: Với mọi tham số m phương trình \(\left(1-m^2\right)x^3-6x=1\) luôn có nghiệm
b. CMR PT \(x^3+2x=4+3\sqrt{3-2x}\) có đúng 1 nghiệm
c. CMR PT \(\left(m-1\right)\left(x-2\right)^2\left(x-3\right)^3+2x-5=0\) có nghiệm với mọi m
a.
- Với \(m=\pm1\Rightarrow-6x=1\Rightarrow x=-\dfrac{1}{6}\) có nghiệm
Đặt \(f\left(x\right)=\left(1-m^2\right)x^3-6x-1\)
- Với \(\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -1\end{matrix}\right.\Rightarrow1-m^2>0\)
\(f\left(0\right)=-1< 0\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left[\left(1-m\right)^2x^3-6x-1\right]\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}x^3\left(1-m^2-\dfrac{6}{m^2}-\dfrac{1}{m^3}\right)=-\infty\left(1-m^2\right)=+\infty\) dương
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-\infty;0\right)\)
- Với \(-1< m< 1\Rightarrow1-m^2< 0\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left[\left(1-m^2\right)x^3-6x-1\right]=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^3\left[\left(1-m^2\right)-\dfrac{6}{x^2}-\dfrac{1}{x^3}\right]=+\infty\left(1-m^2\right)=+\infty\) dương
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;+\infty\right)\)
Vậy pt đã cho có nghiệm với mọi m
b. Để chứng minh pt này có đúng 1 nghiệm thì cần áp dụng thêm kiến thức 12 (tính đơn điệu của hàm số). Chỉ bằng kiến thức 11 sẽ ko chứng minh được
c.
Đặt \(f\left(x\right)=\left(m-1\right)\left(x-2\right)^2\left(x-3\right)^3+2x-5\)
Do \(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên \(f\left(x\right)\) liên tục trên R
\(f\left(2\right)=4-5=-1< 0\)
\(f\left(3\right)=6-5=1>0\)
\(\Rightarrow f\left(2\right).f\left(3\right)< 0\) với mọi m
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (2;3) với mọi m
Hay pt đã cho luôn luôn có nghiệm
Bài 1: Cho a,b,c đôi một khác nhau. CMR:
\(\frac{\left(x-b\right)\left(x-c\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{\left(x-c\right)\left(x-a\right)}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}+\frac{\left(x-a\right)\left(x-b\right)}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}=1\)=1
Bài 2: CMR: nếu \(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=1\)và x=y+z thì:
\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=1\)
CMR
\(a^2\left(a+1\right)+2a\left(a+1\right)\) chia hết cho 6 với a là số nguyên
\(a\left(2a-3\right)-2a\left(a+1\right)\) chia hết cho 5 với a là số nguyên
\(x^2+2x+2>0\) với mọi x
\(x^2-x+1>0\) với mọi x
\(-x^2+4x-5< 0\) với mọi x
\(-x^2+4x-5\)
\(=\left(-x+4x-4\right)-1\)
\(=-\left(x-2\right)^2-1\le-1\)
Vì -1<0
Nên \(-x^2+4x-5< 0\) với mọi x
a ,\(a^2\left(a+1\right)+2a\left(a+1\right)⋮6\)
\(\Leftrightarrow a\left(a+1\right)\left(a+2\right)⋮6\)
Vì a(a+1) là 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2
Vì a (a+1)(a+2) là 3 số nguyên liên tiêp nên chia hết cho 3
Mà 2 và 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau
\(\Rightarrow a\left(a+1\right)\left(a+2\right)⋮6\) hay \(a^2\left(a+1\right)+2a\left(a+1\right)⋮6\) (đpcm)
b,\(a\left(2a-3\right)-2a\left(a+1\right)⋮5\)
\(\Leftrightarrow2a^2-3a-2a^2-2a⋮5\)
\(\Leftrightarrow-5a⋮5\) (đúng)
Vậy \(a\left(2a-3\right)-2a\left(a+1\right)⋮5\)
c,\(x^2+2x+2>0\forall x\)
Ta có \(x^2+2x+2=\left(x^2+2x+1\right)+1=\left(x+1\right)^2+1\)
Vì \(\left(x+1\right)^2\ge0\forall x\Rightarrow\left(x+1\right)^2+1\ge1>0\forall x\)
Vậy \(x^2+2x+2>0\forall x\)
d,\(x^2-x+1>0\forall x\)
Ta có: \(x^2-x+1=\left(x^2-x+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{3}{4}=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\)
Vì \(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\Rightarrow\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}>0\forall x\)
Vậy \(x^2-x+1>0\forall x\)
e,\(-x^2+4x-5< 0\forall x\)
Ta có \(-x^2+4x-5=-\left(x^2-4x+4\right)-1=-\left(x-2\right)^2-1\)
Vì \(-\left(x-2\right)^2\le0\forall x\Rightarrow-\left(x-2\right)^2-1\le-1< 0\forall x\)
Vậy \(-x^2+4x-5< 0\forall x\)
\(a^2\left(a+1\right)+2a\left(a+1\right)\)
\(=a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\)
Vì \(a,a+1,a+2\) là 3 số nguyên liên tiếp
Nên \(a\left(a+1\right)\left(a+2\right)⋮6\)
Vậy \(a^2\left(a+1\right)+2a\left(a+1\right)\) luôn chia hết cho 6 với mọi số nguyên a
cmr \(\left|2x-1\right|+\left|x-2\right|\ge x+1\)với mọi giastrij của x
Bài 2: Tìm x,y,z biết:
a)\(\left(x-1\right)\)\(:\)\(\dfrac{2}{3}\)=\(\dfrac{-2}{5}\)
b) \(\left|x-\dfrac{1}{2}\right|-\dfrac{1}{3}=0\)
c) \(\left|4x+2\right|=\left|6+2x\right|\)
a) (x-1):2/3=-2/5
=>x-1=-4/15
=>x=11/15
b) |x-1/2|-1/3=0
=>|x-1/2|=1/3
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{6}\\x=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}\end{matrix}\right.\)
c) Tương Tự câu B
1) Cho :
\(A=\left(x+y+z\right)^3-x^3-y^3-z^3\)
Với \(x,y,z\in Z\). CMR : \(A⋮6\)
2) Tìm số dư trong phép chia :
\(\left(x+2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right)\left(x+8\right)+2009\) cho \(X^2+100x+21\)
Ta có: \(\left(a+b\right)^3=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)\)
Áp dụng vào bài
\(A=\left(x+y+z\right)^3-x^3-y^3-z^3\)
\(=\left[\left(x+y\right)+z\right]^3-x^3-y^3-z^3\)
\(=\left(x+y\right)^3+z^3+3z\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)-x^3-y^3-z^3\)
\(=x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)+z^3+3z\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)-x^3-y^3-z^3\)
\(=3\left(x+y\right)\left(xy+xz+yz+z^2\right)\)
\(=3\left(x+y\right)\left[x\left(y+z\right)+z\left(y+z\right)\right]\)
\(=3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\)
Nếu trong tích \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\) có ít nhất 2 thừa số chia hết cho 2 thì tích đó chia hết cho 2
Nếu cả 3 thừa số đều không chia hết cho 2, ta có: \(x+y=2k+1;y+z=2q+1\)
\(\Rightarrow2y+x+z=2k+2q+2\)
\(\Leftrightarrow x+z=2k+2q+2-2y\)
\(\Leftrightarrow x+z=2\left(k+q+1-y\right)\)
Vế phải chia hết cho 2 nên vế trái cũng chia hết cho 2
Vậy: \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)⋮2\forall x,y,z\in Z\)
\(\Rightarrow3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)⋮6\forall x,y,z\in Z\)
Vậy: \(A⋮6\forall x,y,z\in Z\)
Tìm x, biết:
a) \(\left(5x+1\right)^2=\dfrac{36}{49}\)
b) \(\left[\left(-0,5\right)^3\right]^x=\dfrac{1}{64}\)
c) \(2020^{\left(x-2\right).\left(2x+3\right)}=1\)
d) \(\left(x+1\right)^{x+10}=\left(x+1\right)^{x+4}\) với \(x\in Z\)
e) \(\dfrac{3}{4}\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}\)
\(a,\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}5x+1=\dfrac{6}{7}\\5x+1=-\dfrac{6}{7}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}5x=\dfrac{1}{7}\\5x=-\dfrac{13}{7}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{35}\\x=-\dfrac{13}{35}\end{matrix}\right.\\ b,\Rightarrow\left(-\dfrac{1}{8}\right)^x=\dfrac{1}{64}=\left(-\dfrac{1}{8}\right)^2\Rightarrow x=2\\ c,\Rightarrow\left(x-2\right)\left(2x+3\right)=0\\ \Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\\ d,\Rightarrow\left(x+1\right)^{x+10}-\left(x+1\right)^{x+4}=0\\ \Rightarrow\left(x+1\right)^{x+4}\left[\left(x+1\right)^6-1\right]=0\\ \Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+1=0\\\left(x+1\right)^6=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+1=0\\x+1=1\\x+1=-1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=0\\x=-2\end{matrix}\right.\\ e,\Rightarrow\dfrac{3}{4}\sqrt{x}=\dfrac{5}{6}\left(x\ge0\right)\\ \Rightarrow\sqrt{x}=\dfrac{10}{9}\Rightarrow x=\dfrac{100}{81}\)
Bài 1: Cho a, b, c > 1. CMR: \(a^{\log_bc}+b^{\log_ca}+c^{\log_ab}\ge3\sqrt[3]{abc}\)
Bài 2: Cho các số x, y, z > 0 thoả mãn: \(\dfrac{x\left(y+z-x\right)}{logx}=\dfrac{y\left(z+x-y\right)}{logy}=\dfrac{z\left(x+y-z\right)}{logz}\). CMR: xy.yx = yz.zy = xz.zx
1. Cho \(x,y,z\in\left(0,1\right)\) và \(xyz=\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\). Cmr: \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{3}{4}\)
2. \(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z\ge0\\x^2+y^2+z^2+xyz=4\end{matrix}\right.\) Cmr: \(x+y+z\le3\)
3. \(x\ne-2y\). Min : \(P=\frac{\left(2x^2+13y^2-xy\right)^2-6xy+9}{\left(x+2y\right)^2}\)
Câu 1:
\(2xyz=1-\left(x+y+z\right)+xy+yz+zx\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx=2xyz+\left(x+y+z\right)-1\)
\(VT=x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)^2-2\left(x+y+z\right)-4xyz+2\)
\(VT\ge\left(x+y+z\right)^2-2\left(x+y+z\right)-\frac{4}{27}\left(x+y+z\right)^3+2\)
\(VT\ge\frac{4}{27}\left[\frac{15}{4}-\left(x+y+z\right)\right]\left(x+y+z-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{2}\ge\frac{3}{2}\)
(Do \(0< x;y;z< 1\Rightarrow x+y+z< 3< \frac{15}{4}\))
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
Câu 2:
Từ điều kiện bài này có thể đặt ẩn phụ và AM-GM ra luôn kết quả, nhưng hơi rắc rối khi người ta hỏi từ đâu mà có cách đặt ẩn phụ như vậy, do đó ta giải trâu :D
\(x^2+y^2+z^2+xyz=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{4}+2\left(\frac{x}{2}.\frac{y}{z}.\frac{z}{2}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{xy}{2z}.\frac{xz}{2y}+\frac{xy}{2z}.\frac{yz}{2x}+\frac{yz}{2x}.\frac{xz}{2y}+2\left(\frac{xy}{2z}.\frac{yz}{2x}.\frac{xy}{2y}\right)=1\)
Đặt \(\left(\frac{xy}{2z};\frac{zx}{2y};\frac{yz}{2x}\right)=\left(m;n;p\right)\Rightarrow mn+np+pn+2mnp=1\)
\(\Leftrightarrow2\left(n+1\right)\left(m+1\right)\left(p+1\right)=\left(n+1\right)\left(m+1\right)+\left(n+1\right)\left(p+1\right)+\left(m+1\right)\left(p+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{n+1}+\frac{1}{m+1}+\frac{1}{p+1}=2\)
\(\Leftrightarrow1=\frac{n}{n+1}+\frac{m}{m+1}+\frac{p}{p+1}\ge\frac{\left(\sqrt{n}+\sqrt{m}+\sqrt{p}\right)^2}{m+n+p+3}\)
\(\Leftrightarrow m+m+p+2\left(\sqrt{mn}+\sqrt{np}+\sqrt{mp}\right)\le m+n+p+3\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{mn}+\sqrt{np}+\sqrt{mp}\le\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\le\frac{3}{2}\Leftrightarrow x+y+z\le3\)
@Nguyễn Việt Lâm, @Akai Haruma, @tth_new
giúp em vs ạ! e cảm ơn nhiều!