Ta có: \(a+b+c=0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=-c\\b+c=-a\end{matrix}\right.\)

Lại có: \(a^3+a^2c-abc+b^2c+b^3\)

\(=a^2\left(a+c\right)+b^2\left(c+b\right)-abc\)

\(=a^2\left(-b\right)+b^2\left(-a\right)-abc\)

\(=-ab\left(a+b+c\right)=\left(-ab\right).0=0\) (đpcm)

Gái xinh review app chất cho cả nhà đây: https://www.facebook.com/watch/?v=485078328966618 Link tải app: https://www.facebook.com/watch/?v=485078328966618

Với Kho Đề đã được cập nhật, hiện tại Đáp Án Chi Tiết môn TOÁN Kỳ thi THPT quốc gia đã có trên Ứng Dụng. Các bạn tha hồ kiểm tra đối chiếu với bài làm của mình rồi nhé Tải ngay App về để xem đáp án chi tiết nào: https://giaingay.com.vn/downapp.html

Tải app giải toán và kết bạn trao đổi nào cả nhà: https://www.facebook.com/watch/?v=485078328966618

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cô-si: 

$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3(1)$
Tiếp tục áp dụng BĐT Cô-si:

$a^3+a\geq 2a^2$

$b^3+b\geq 2b^2$

$c^3+c\geq 2c^2$

$\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq 2(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)$

Lại có:

$a^2+1\geq 2a$

$b^2+1\geq 2b$

$c^2+1\geq 2c$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq 2(a+b+c)-3=(a+b+c)+(a+b+c)-3$

$\geq a+b+c+3-3=a+b+c(2)$

$\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq 2(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)\geq a^2+b^2+c^2(3)$

Từ $(1); (2); (3)$ ta có đpcm.

Câu 6: 

a: \(\left(a+1\right)^2>=4a\)

\(\Leftrightarrow a^2+2a+1-4a>=0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2a+1>=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2>=0\)(luôn đúng)

b: \(\left\{{}\begin{matrix}a+1\ge2\sqrt{a}\\b+1\ge2\sqrt{b}\\c+1\ge2\sqrt{c}\end{matrix}\right.\)(Theo BĐT COSI)

\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)\left(b+2\right)\left(c+1\right)\ge8\sqrt{abc}=8\)

Ta có: a^3 + a^2c – abc + b^2c + b^3 = (a^3 + b^3) + (a^2c – abc + b^2c) = (a + b)( a^2 – ab + b^2) + c(a62 – ab + b^2) = (a + b + c)(a^2 – ab + b^2) = 0 ( Vì a + b + c = 0 theo giả thiết) Vậy: a3 +a2c – abc + b2c + b3 = 0

\(\text{Ta có: }\)\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=a^2+b^2+c^2\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca=0\Rightarrow-ab=bc+ca\)

\(VT=\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}=\dfrac{b^3c^3+a^3b^3+a^3c^3}{\left(abc\right)^3}\)

\(=\dfrac{\left(bc+ca\right)^3-3abc^2\left(bc+ca\right)+\left(ab\right)^3}{\left(abc\right)^3}\)

\(=\dfrac{\left(-ab\right)^3+3\left(abc\right)^2+\left(ab\right)^3}{\left(abc\right)^3}=\dfrac{\left[-\left(ab\right)^3+\left(ab\right)^3+3\left(abc\right)^2\right]}{\left(abc\right)^3}\)

\(=\dfrac{3\left(abc\right)^2}{\left(abc\right)^3}=\dfrac{3}{abc}=VP\)

Bạn tham khảo tại đây:

Câu hỏi của Hoàng Tuấn - Toán lớp 8 | Học trực tuyến