Đặt \(x^2=t\ge0\) pt trở thành:

\(t^2-2mt+2m-1=0\) (1)

Pt đã cho có 4 nghiệm pb khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm dương pb

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=m^2-\left(2m-1\right)>0\\t_1+t_2=2m>0\\t_1t_2=2m-1>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\m>0\\m>\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\m>\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

d: Ta có: \(\text{Δ}=\left(m+1\right)^2-4\cdot2\cdot\left(m+3\right)\)

\(=m^2+2m+1-8m-24\)

\(=m^2-6m-23\)

\(=m^2-6m+9-32\)

\(=\left(m-3\right)^2-32\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\left(m-3\right)^2>32\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m-3>4\sqrt{2}\\m-3< -4\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m>4\sqrt{2}+3\\m< -4\sqrt{2}+3\end{matrix}\right.\)

Áp dụng hệ thức Vi-et, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{m+1}{2}\\x_1x_2=\dfrac{m+3}{2}\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{m+1}{2}\\x_1-x_2=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x_1=\dfrac{m+3}{2}\\x_2=x_1-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{m+3}{4}\\x_2=\dfrac{m+3}{4}-\dfrac{4}{4}=\dfrac{m-1}{4}\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(x_1x_2=\dfrac{m+3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(m+3\right)\left(m-1\right)}{16}=\dfrac{m+3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(m+3\right)\left(m-1\right)=8\left(m+3\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(m+3\right)\left(m-9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-3\\m=9\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(x^4-x^2-2mx-m^2=0\)

<=> \(x^4-\left(x+m\right)^2=0\)

<=> \(\left(x^2-x-m\right)\left(x^2+x+m\right)=0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}x^2-x-m=0\left(1\right)\\x^2+x+m=0\left(2\right)\end{cases}}\)

<=> \(\Delta_1=\left(-1\right)^2+4m=4m+1\)

 \(\Delta_2=1^2-4m=1-4m\)

Để pt có 4 nghiệm phân biệt <=> pt (1) và pt (2) cùng có 2 nghiệm pb

<=> \(\hept{\begin{cases}\Delta_1>0\\\Delta_2>0\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}4m+1>0\\1-4m>0\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}m>-\frac{1}{4}\\m< \frac{1}{4}\end{cases}}\) <=> \(-\frac{1}{4}< m< \frac{1}{4}\)

Vậy ...

Để pt có hai nghiệm pb <=>\(\Delta>0\)<=> \(4m^2-16m+16>0\) <=>\(4\left(m-2\right)^2>0\left(lđ\right)\)

=> Pt luôn có hai nghiệm pb

Do \(x_1\) là một nghiệm của pt => \(x_1^2-2mx_1+4m-4=0\) <=> \(x_1^2=2mx_1-4m+4\)

Có \(x_1^2+2mx_2-8m+5=0\)

\(\Leftrightarrow2mx_1+2mx_2-4m+4-8m+5=0\)

\(\Leftrightarrow2m\left(x_1+x_2\right)-12m+9=0\)

\(\Leftrightarrow2m.2m-12m+9=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-3\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow m=\dfrac{3}{2}\)

Vậy...

\(\Delta'=m^2-4m+4=\left(m-2\right)^2\)

Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì \(\Delta'>0\Rightarrow m\ne2\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=4m-4\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(x_1^2+2mx_2-8m+5=0\Rightarrow x_1^2+\left(x_1+x_2\right)x_2-8m+5=0\)

\(\Rightarrow x_1^2+x_2^2+x_1x_2-8m+5=0\Rightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2-8m+5=0\)

\(\Rightarrow4m^2-4m+4-8m+5=0\Rightarrow4m^2-12m+9=0\)

\(\Rightarrow\left(2m-3\right)^2=0\Rightarrow m=\dfrac{3}{2}\)