\(pt\Leftrightarrow\frac{\sqrt{y-4}}{y}+\frac{\sqrt{x-4}}{x}=\frac{1}{2}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có: 

\(\frac{\sqrt{y-4}}{y}=\frac{\sqrt{4\left(y-4\right)}}{2y}\le\frac{4+y-4}{2\cdot2y}=\frac{1}{4}\)

Tương tự ta cũng có \(\frac{\sqrt{x-4}}{x}\le\frac{1}{4}\)

Cộng theo vế ta có Đpcm

Dấu "=" xảy ra khi x=y, thay vào giải ra ta dc x=y=8

áp dụng BĐT co-sy ta có:

\(x\sqrt{\left(y-4\right)4}\le\frac{xy}{2}\)

tương tự ta có:

\(y\sqrt{\left(x-4\right)4}\le\frac{xy}{2}\)

cộng từng vế thì được \(VT\le VP\)

=> bằng khi x=y=8

pt đã cho <=>\(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{xy}+y\right)-2\left(x+y\right)-\left(x+y+2\sqrt{xy}\right)+2\sqrt{xy}+4\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)-4=0\)

<=>\(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x+y\right)-\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)-2\left(x+y\right)+2\sqrt{xy}-\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}-2\right)^2=0\)

<=>\(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}-2\right)\left(x+y-\sqrt{xy}-\sqrt{x}-\sqrt{y}+2\right)=0\)

<=>\(\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{y}=2\\x+y-\sqrt{xy}-\sqrt{x}-\sqrt{y}+2=0\end{cases}}\)

th2: nhân cả hai vế với 2 ta được

\(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{y}-1\right)^2+2>0\)

=>th2 vô nghiệm

do đó M=\(\sqrt{xy}\)

áp dụng bdt cô si ta có \(\sqrt{x}+\sqrt{y}>=2\sqrt{\sqrt{xy}}\)

<=>1>=\(\sqrt{\sqrt{xy}}\)(do \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=2\))

<=>\(\sqrt{xy}< =1\)

<=>M<=1

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2x+3}=a\ge0\\\sqrt{y}=b\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow b\left(b^2+1\right)-3a^2=\left(a^2+1\right)a-3b^2\)

\(\Rightarrow a^3-b^3+3a^2-3b^2+a-b=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)+\left(a-b\right)\left(3a+3b\right)+a-b=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2+3a+3b+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a=b\Rightarrow\sqrt{2x+3}=\sqrt{y}\)

\(\Rightarrow y=2x+3\)

\(\Rightarrow M=x\left(2x+3\right)+3\left(2x+3\right)-4x^2-3\) tới đây chắc chỉ cần bấm máy