2.

$y=\sin ^4x+\cos ^4x=(\sin ^2x+\cos ^2x)^2-2\sin ^2x\cos ^2x$

$=1-\frac{1}{2}(2\sin x\cos x)^2=1-\frac{1}{2}\sin ^22x$

Vì: $0\leq \sin ^22x\leq 1$

$\Rightarrow 1\geq 1-\frac{1}{2}\sin ^22x\geq \frac{1}{2}$

Vậy $y_{\max}=1; y_{\min}=\frac{1}{2}$

3.

$0\leq |\sin x|\leq 1$

$\Rightarrow 3\geq 3-2|\sin x|\geq 1$

Vậy $y_{\min}=1; y_{\max}=3$

1.

\(y=\cos x+\cos (x-\frac{\pi}{3})=\cos x+\frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\)

\(=\frac{3}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\)

\(y^2=(\frac{3}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x)^2\leq (\cos ^2x+\sin ^2x)(\frac{9}{4}+\frac{3}{4})\)

\(\Leftrightarrow y^2\leq 3\Rightarrow -\sqrt{3}\leq y\leq \sqrt{3}\)

Vậy $y_{\min}=-\sqrt{3}; y_{max}=\sqrt{3}$

\(\Leftrightarrow m.cosx+\left(2m-1\right)sinx+3-m=y\left(cosx+sinx-2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(m-y\right)cosx+\left(2m-y-1\right)sinx=m-2y-3\)

Pt có nghiệm khi:

\(\left(m-y\right)^2+\left(2m-y-1\right)^2\ge\left(m-2y-3\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2y^2+\left(2m+10\right)y-4m^2-2m+8\le0\)

\(\Rightarrow\dfrac{-m-5-\sqrt{9m^2+14m+9}}{2}\le y\le\dfrac{-m-5+\sqrt{9m^2+14m+9}}{2}\)

\(\Rightarrow y_{min}=\dfrac{-m-5-\sqrt{9m^2+14m+9}}{2}\le3\)

\(\Rightarrow\sqrt{9m^2+14m+9}\ge-m-11\)

BPT này đúng với mọi m. Vậy bài toán thỏa mãn với mọi m

a/

\(y=\frac{1}{sinx}+\frac{1}{cosx}\ge\frac{4}{sinx+cosx}=\frac{4}{\sqrt{2}sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}\ge\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\)

\(y_{min}=2\sqrt{2}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}sinx=cosx\\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=\frac{\pi}{4}\)

\(y_{max}\) không tồn tại (y dần tới dương vô cùng khi x gần tới 0 hoặc \(\frac{\pi}{2}\))

b/

\(y=\frac{1}{1-cosx}+\frac{1}{1+cosx}=\frac{1+cosx+1-cosx}{1-cos^2x}=\frac{2}{sin^2x}\)

Hàm số ko tồn tại cả min lẫn max ( \(0< y< \infty\))

c/

Do \(tan^2x\) ko tồn tại max (tiến tới vô cực) trên khoảng đã cho nên hàm ko tồn tại max

\(y=2+\frac{sin^4x+cos^4x}{\left(sinx.cosx\right)^2}+\frac{1}{sin^4x+cos^4x}\ge2+2\sqrt{\frac{sin^4x+cos^4x}{\frac{1}{4}sin^22x.\left(sin^4x+cos^4x\right)}}\)

\(y\ge2+\frac{4}{sin2x}\ge2+\frac{4}{1}=6\)

\(y_{min}=6\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}sin2x=1\\sin^4x+cos^4x=sinx.cosx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=\frac{\pi}{4}\)

Đây nè bn:

a, \(y=2sin^2x-cos2x=1-2cos2x\)

Vì \(cos2x\in\left[-1;1\right]\Rightarrow y=2sin^2x-cos2x\in\left[-1;3\right]\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_{min}=-1\\y_{max}=3\end{matrix}\right.\)