Thêm đk \(a,b,c\ne0\)

Ta có: \(\frac{ab}{a+b}=\frac{1}{3}\Rightarrow\frac{a+b}{ab}=3\)

\(\frac{bc}{b+c}=\frac{1}{4}\Rightarrow\frac{bc}{b+c}=4\)

\(\frac{ca}{c+a}=\frac{1}{5}\Rightarrow\frac{c+a}{ca}=5\)

\(\Rightarrow\frac{a+b}{ab}+\frac{b+c}{bc}+\frac{c+a}{ca}=12\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=12\)

\(\Leftrightarrow2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=12\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6\)

Ta có :

\(\frac{a}{b+c+d}=\frac{b}{c+d+a}=\frac{c}{d+a+b}=\frac{d}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a}{b+c+d}+1=\frac{b}{c+d+a}+1=\frac{c}{d+a+b}+1=\frac{d}{a+b+c}+1\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a+b+c+d}{b+c+d}=\frac{a+b+c+d}{c+d+a}=\frac{a+b+c+d}{d+a+b}=\frac{a+b+c+d}{a+b+c}\)

Ta thấy các tử bằng nhau suy ra các mẫu bằng nhau 

\(\Rightarrow\)\(b+c+d=c+d+a=d+a+b=a+b+c\)

\(\Rightarrow\)\(a=b=c=d\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{a+b}{c+d}+\frac{b+c}{d+a}+\frac{c+d}{b+a}+\frac{d+a}{b+c}=1+1+1+1=4\)

Đề bị nhầm đúng ko bạn ^^

Ta có:\(P=a^2+\frac{1}{a^2}+b^2+\frac{1}{b^2}+c^2+\frac{1}{c^2}\)

\(\Rightarrow P\ge a^2+b^2+c^2+\frac{9}{a^2+b^2+c^2}\)(bđt cauchy-schwarz)

\(P\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{81}+\frac{9}{a^2+b^2+c^2}+\frac{80\left(a^2+b^2+c^2\right)}{81}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{2}{3}+\frac{80\left(a^2+b^2+c^2\right)}{81}\left(AM-GM\right)\)

Sử dụng đánh giá quen thuộc:\(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=27\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{2}{3}+\frac{80\cdot27}{81}=\frac{82}{3}\)

"="<=>a=b=c=3

Ta có 

\(Q+3=\left(\frac{a}{b+c}+1\right)+\left(\frac{b}{a+c}+1\right)+\left(\frac{c}{a+b}+1\right)\)

\(=\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b+c}{b+c}\right)+\left(\frac{b}{a+c}+\frac{a+c}{a+c}\right)+\left(\frac{c}{a+b}+\frac{a+b}{a+b}\right)\)

\(=\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{a+b}\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)\)

\(=259.15\)

\(\Rightarrow Q=259.15-3=3885\)

nhận được thông báo thì kéo chuột xuống xem bài giải của t ở phần duyệt bài nhé

Nhỏ nhất hay lớn nhất

Sorry, tìm GTLN

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau,ta có:

\(\frac{2a+b+c}{a}=\frac{2b+c+a}{b}=\frac{2c+a+b}{c}=\frac{2a+b+c+2b+c+a+2c+a+b}{a+b+c}=\frac{4\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=4\)

\(\Rightarrow\frac{2a+b+c}{a}=4\Rightarrow2a+b+c=4a\Rightarrow b+c=4a-2a=2a\)

          \(\frac{2b+c+a}{b}=4\Rightarrow2b+c+a=4b\Rightarrow c+a=4b-2b=2b\)

          \(\frac{2c+a+b}{c}=4\Rightarrow2c+a+b=4c\Rightarrow a+b=4c-2c=2c\)   

Suy ra \(P=\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}=\frac{2c.2a.2b}{abc}=\frac{8abc}{abc}=8\)

Vậy P=8

Cho hỏi tớ sai chỗ nào ạ :>?Góp ý giúp nha?