\(x^2+y^2+z^2=2xyz\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+z^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+x^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x-y=0\\z=0\end{array}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=y\\z=0\end{array}\right.\)

2xyz chứ có phải 2xy đâu :)

bạn ơi đề khó nhìn vậy  

Giả sử \(z\ge y\ge x\)

\(\frac{1}{2}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{3}{x}\Rightarrow x\le6\)

xét các TH 

( còn 2 biến làm tườn tự )

Xem có sai đè k bạn. 

Bài này dùng cực hạn và xét rất nhiều giá trị, bạn cần lập bảng hay đại loại là thứ gì phải rút gọn khẩn cấp 

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2xyz$ - Đại số - Diễn đàn Toán học

x² - x - y² - y

= (x - y)(x + y) - (x + y)

= (x + y)(x - y - 1)

***

9x² + y² - 16z² + 6xy

= (3x + y)² - (4z)²

= (3x + y - 4z)(3x + y + 4z)

***

a³ - a²x - ay + xy

= a²(a - x) - y(a - x)

= (a - x)(a² - y)

***

2x² - 8y² + 3x + 6y

= 2(x² - 4y²) + 3(x + 2y)

= 2(x - 2y)(x + 2y) + 3(x + 2y)

= (x + 2y)(2x - 4y + 3)

***

xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z) + 2xyz

= xy(x + y + z) + yz(x + y + z) + xz(x + z)

= y(x + y + z)(x + z) + xz(x + z)

= (x + z)(xy + y² + yz + xz)

= (x + z)[y(x + y) + z(x + y)]

= (x + z)(x + y)(y + z) 

Lời giải:

$2xyz=x+y+z$

$2=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}$

Không mất tổng quát giả sử $x\geq y\geq z$ 

$\Rightarrow xy\geq xz\geq yz$

$\Rightarrow \frac{1}{xy}\leq \frac{1}{xz}\leq \frac{1}{yz}$

$\Rightarrow 2\leq \frac{3}{yz}$$

$\Rightarrow yz\leq \frac{3}{2}$. Mà $yz$ nguyên dương nên $yz=1$

$\Rightarrow y=z=1$. Thay vào pt ban đầu:

$2x=x+2$

$x=2$

Vậy $(x,y,z)=(2,1,1)$ và hoán vị.

b) Áp dụng bđt Svac-xơ:

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{9}{y}+\dfrac{16}{z}\ge\dfrac{\left(1+3+4\right)^2}{x+y+z}\ge\dfrac{64}{4}=16>9\)

=> hpt vô nghiệm

c) Ở đây x,y,z là các số thực dương

Áp dụng cosi: \(x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xyz\left(x+y+z\right)=3xyz\)

Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{3}{3}=1\)