ta có

\(a^3-a=a\left(a^2-1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)

vì a-1;a;a+1 là 3 số nguyên liên tiếp nên a(a-1)(a+1) chia hết cho 3

a, Nếu \(n=3k\left(k\in Z\right)\Rightarrow A=n^3-n=27k^3-3k⋮3\)

Nếu \(n=3k+1\left(k\in Z\right)\)

\(\Rightarrow A=n^3-n\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

\(=\left(3k+1\right).3k.\left(3k+2\right)⋮3\)

Nếu \(n=3k+2\left(k\in Z\right)\)

\(\Rightarrow A=n^3-n\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

\(=\left(3k+2\right)\left(n+1\right)\left(3k+3\right)⋮3\)

Vậy \(n^3-n⋮3\forall n\in Z\)

 n3−n⋮3∀n∈Z

a) \(n^3-n=n\left(n^2-1\right)=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3

b) \(n\left(n-1\right)\left(2n-1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1+n-2\right)=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)+\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\)Ta có: \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3, mà(2,3)=1 nên \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮6\) 

Tương tự ta cũng được \(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n⋮6\)

\(\Rightarrow\left(n-1\right)n\left(n+1\right)+\left(n-2\right)\left(n-1\right)n⋮6\)

\(\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(2n-1\right)⋮6\left(đpcm\right)\)

a) \(n^3-n\)

\(=n\left(n^2-1\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

vì đó là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3

2 câu sau tương tự nhen

ta có: P(x) chia hết cho 7 với mọi x

=> Xét TH: P(0) = a.0² +b.0 + c = 0 + c => c chia hết cho 7

P(1) = a.1² + b.1 + c = a + b + c => a + b + c chia hết cho 7

                                                      mà c chia hết cho 7 (cmt)

=> a + b chia hết cho 7 (*)

P(-1) = a.(-1)² + b.(-1) + c = a - b + c  chia hết cho 7 => a - b chia hết cho 7 ( do c chia hết cho 7)

=> a + b + a - b chia hết cho 7

=> 2a chia hết cho 7

=> a chia hết cho 7 ( do 2 không chia hết cho 7)

mà a+ b chia hết cho 7

=> b chia hết cho 7

+ Với n = 0 thì n^7 - n = 0 chia hết cho 7 (đúng) 

+ Giả sử k^7 - k chia hết cho 7 với k > 1 

+ Ta cm : (k + 1)^7 - (k + 1) cũng chia hết cho 7 

Ta có : 
(k + 1)⁷ - (k + 1) = k⁷ + 7M + 1 - (k + 1) 

= k^7 - k + 7M chia hết cho 7 

K sai đâu ạ đề vốn vậy k sai đâu bn

Giải theo Fertma là được: 
- Phương pháp Fertma: Ta có n thuộc Z và 7 là số nguyên tố 
Nên n^7 đồng dư n (mod 7) 
=> n^7 - n đồng dư 0 (mod 7) 
=> n^7 - n chia hết cho 7 
- Phương pháp Qui nạp: Đặt A(n)=n^7 - n (cho dễ làm) 
+ n=0 => A(n)=0 chia hết cho 7 
+Giả sử n=k thì A(k)= k^7-k chia hết cho 7 
+Với n=k+1 thì 
A(k+1)= (k+1)^7-(k+1) 
= k^7 + 7k^6 + 21k^5 + 35k^4 + 35k^3 + 21k^2 + 7k +1 - k -1 
= k^7 - k + 7( k^6 +3k^5 + 5k^4 + 5k^3 +3k^2 +k) 
Do k^7-k chia hết cho 7 
& 7( k^6 +3k^5 + 5k^4 + 5k^3 +3k^2 +k) chia hết cho 7 
Suy ra: A(k+1) chia hết cho 7 
Vậy: n^7 - n chia hết cho 7 
*Chú ý: A(k+1) nghĩ là biểu thức A có biến kà k+1 chứ ko phải là A nhân cho (k+1) nhé, tương tự A(n), A(k) cũng thế. 
Mình đã cố gắng nhưng có thể vẫn còn sai sót mong các bạn thông cảm. Chúc bạn vui vẻ ^^!!

Bài 1:

$5a+8b\vdots 3$

$\Leftrightarrow 5a+8b-3(2b+2a)\vdots 3$

$\Leftrightarrow 5a+8b-6b-6a\vdots 3$

$\Leftrightarrow 2b-a\vdots 3$

 Ta có đpcm. 

Bài 2. Bổ sung thêm điều kiện $n$ là số tự nhiên.

Ta có: $A=n(2n+7)(7n+7)=7n(2n+7)(n+1)$

Vì $n,n+1$ là 2 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ tồn tại 1 số chẵn và 1 số lẻ

$\Rightarrow n(n+1)\vdots 2$

$\Rightarrow A=7n(n+1)(2n+7)\vdots 2(1)$

Mặt khác:

Nếu $n\vdots 3$ thì $A=7n(n+1)(2n+7)\vdots 3$

Nếu $n$ chia $3$ dư $1$ thì $2n+7$ chia hết cho $3$ 

$\Rightarrow A\vdots 3$

Nếu $n$ chia $3$ dư $2$ thì $n+1$ chia hết cho $3$

$\Rightarrow A\vdots 3$

Tóm lại $A\vdots 3(2)$

Từ $(1);(2)$ mà $(2,3)=1$ nên $A\vdots (2.3)$ hay $A\vdots 6$

Nếu n chia hết cho 3 => n^2 chia hết cho 3 => A chia 3 dư 2

Nếu n chia 3 dư 1 => n^2 chia 3 dư 1 => A chia 3 dư 1

Nếu n chia 3 dư 2 => n^2 chia 3 dư 1 => A chia 3 dư 2

=> ĐPCM

k mk nha

nhìn là hết muốn làm

sao dài dòng quá vậy, như thế thì ai mà làm nổi, bạn phải hỏi từng bài 1 chứ

Nhìn là muốn chạy rùi

^-^

p thử lên mạng mà tra từng câu 1 mik nghĩ là có