Áp dụng BĐT Cauchy–Schwarz ta được:

\(x=\dfrac{2017}{\sqrt{2018}}+\dfrac{2018}{\sqrt{2017}}\ge\dfrac{\left(\sqrt{2018}+\sqrt{2017}\right)^2}{\sqrt{2018}+\sqrt{2017}}=\sqrt{2018}+\sqrt{2017}=y\)

Dấu \("="\Leftrightarrow\dfrac{2017}{\sqrt{2018}}=\dfrac{2018}{\sqrt{2017}}\Leftrightarrow2017=2018\left(vô.lí\right)\)

Vậy đẳng thức ko xảy ra hay \(x>y\)

\(a,x=\sqrt{27}-\sqrt{2}\)\(=3\sqrt{3}-\sqrt{2}>3\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}\)

Mà: \(y=\sqrt{3}< 2\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow x>y\)

\(b,x=\sqrt{5\sqrt{6}}\Rightarrow x^4=5^2.6=150\)

\(y=\sqrt{6\sqrt{5}}\Rightarrow y^4=6^2.5=180\)

\(\Rightarrow x^4< y^4\Rightarrow x< y\left(x,y>0\right)\)

\(c,x=2m;y=m+2\)

Ta có: \(x-y=2m-\left(m+2\right)=m-2\)

Ta xét các trường hợp:

1: Ta có: \(P=\dfrac{x-\sqrt{x}}{x-9}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+3}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-3}\)

\(=\dfrac{x-\sqrt{x}+\sqrt{x}-3-\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(=\dfrac{x-\sqrt{x}-6}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+3}\)

2)

a) Thay \(x=\dfrac{9}{4}\) vào P, ta được:

\(P=\left(\dfrac{3}{2}+2\right):\left(\dfrac{3}{2}+3\right)=\dfrac{7}{2}:\dfrac{11}{2}=\dfrac{7}{11}\)

b) Ta có: \(x=\sqrt{27+10\sqrt{2}}-\sqrt{18+8\sqrt{2}}\)

\(=5+\sqrt{2}-4-\sqrt{2}\)

=1

Thay x=1 vào P, ta được:

\(P=\dfrac{1+2}{1+3}=\dfrac{3}{4}\)

Câu 1:

\(A=\left(2\sqrt{3}+4\cdot\sqrt{27}-\sqrt{108}\right):2\sqrt{3}\)

\(=\dfrac{\left(2\sqrt{3}+4\cdot3\sqrt{3}-6\sqrt{3}\right)}{2\sqrt{3}}\)

\(=\dfrac{2\sqrt{3}+12\sqrt{3}-6\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\dfrac{8\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=4\)

\(B=\sqrt{9+4\sqrt{5}}-2\left(\sqrt{5}+1\right)\)

\(=\sqrt{5+2\cdot\sqrt{5}\cdot2+4}-2\left(\sqrt{5}+1\right)\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{5}+2\right)^2}-2\left(\sqrt{5}+1\right)\)

\(=\sqrt{5}+2-2\sqrt{5}-2=-\sqrt{5}\)

Câu 2:

a: 

b: Tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+2=-x+4\\y=x+2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2x=2\\y=x+2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1+2=3\end{matrix}\right.\)

Thay x=1 và y=3 vào (d3), ta được:

\(m\cdot1+m=3\)

=>2m=3

=>\(m=\dfrac{3}{2}\)

Câu 4:

a: Xét (O) có

ΔCAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔCAB vuông tại C

Xét tứ giác CMON có \(\widehat{CMO}=\widehat{CNO}=\widehat{MCN}=90^0\)

=>CMON là hình chữ nhật

b: Ta có: ΔCAB vuông tại C

=>CA\(\perp\)CB tại C

=>AC\(\perp\)EB tại C

Xét ΔAEB vuông tại A có AC là đường cao

nên \(EC\cdot CB=AC^2\left(1\right)\)

Xét ΔCAB vuông tại C có CH là đường cao

nên \(AH\cdot AB=AC^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(EC\cdot CB=AH\cdot AB\)

c: Ta có: ΔOAC cân tại O

mà OM là đường cao

nên OM là phân giác của góc AOC

Xét ΔOAI và ΔOCI có

OA=OC

\(\widehat{AOI}=\widehat{COI}\)

OI chung

Do đó: ΔOAI=ΔOCI

=>\(\widehat{OAI}=\widehat{OCI}=90^0\)

Ta có: ΔOBC cân tại O

mà ON là đường cao

nên ON là phân giác của góc COB

Xét ΔOBF và ΔOCF có

OB=OC

\(\widehat{BOF}=\widehat{COF}\)

OF chung

Do đó: ΔOBF=ΔOCF

=>\(\widehat{OBF}=\widehat{OCF}=90^0\)

Ta có: \(\widehat{ICF}=\widehat{ICO}+\widehat{FCO}\)

\(=90^0+90^0=180^0\)

=>I,C,F thẳng hàng

=>OC\(\perp\)IF tại C

Xét (O) có

OC là bán kính

IF\(\perp\)OC tại O

Do đó: IF là tiếp tuyến của (O)

\(x^2=3+5+2\sqrt{15}=8+\sqrt{60}\)

\(y^2=2+6+2\sqrt{12}=8+\sqrt{48}\)

Mà \(60>48\Rightarrow\sqrt{60}>\sqrt{48}\Rightarrow8+\sqrt{10}>8+\sqrt{48}\)

\(\Rightarrow x^2>y^2\Rightarrow x>y\) (do x;y đều dương)

a) Rút gọn được \(\dfrac{\sqrt{xy}}{x-\sqrt{xy}+y}\)

c) \(H=\dfrac{\sqrt{xy}}{x-\sqrt{xy}+y}\Rightarrow H^2=\dfrac{xy}{\left(x-\sqrt{xy}+y\right)^2}\)

\(\Rightarrow H^2-H=\dfrac{xy}{\left(x-\sqrt{xy}+y\right)^2}-\dfrac{\sqrt{xy}}{x-\sqrt{xy}+y}=\dfrac{xy-\sqrt{xy}\left(x-\sqrt{xy}+y\right)}{\left(x-\sqrt{xy}+y\right)^2}\)

\(=\dfrac{2xy-x\sqrt{xy}-y\sqrt{xy}}{\left(x-\sqrt{xy}+y\right)^2}=\dfrac{-\sqrt{xy}\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)}{\left(x-\sqrt{xy}+y\right)^2}=-\dfrac{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2}{\left(x-\sqrt{xy}+y\right)^2}\)

Do \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{xy}\ge0\\\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0\\\left(x-\sqrt{xy}+y\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow H^2-H=-\dfrac{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2}{\left(x-\sqrt{xy}+y\right)^2}\le0\Rightarrow H^2\le H\)

Mà \(H\ge0\left(cmt\right)\Rightarrow H\le\sqrt{H}\)

Q= [\(\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}+\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(x+\sqrt{xy}+y\right)}{\left(\sqrt{y}-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{y}+\sqrt{x}\right)}\)]\(:\frac{x-2\sqrt{xy}+y+\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\)

\(Q=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}-\frac{x+\sqrt{xy}+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right):\frac{x-\sqrt{xy}+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\)

\(Q=\frac{x+2\sqrt{xy}+y-x-\sqrt{xy}-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}.\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-\sqrt{xy}+y}\)

\(Q=\frac{\sqrt{xy}}{x-\sqrt{xy}+y}\)

phan 3 nua