Akaima Việt LâmMinh

a ) \(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+...+\frac{1}{\left(2n\right)^2}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)\)

\(< \frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}\right)=\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{1}-\frac{1}{n}\right)< \frac{1}{2}\)

b )

\(B=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+...+\frac{1}{\left(2n+1\right)^2}< \frac{1}{3^2-1}+\frac{1}{5^2-1}+...+\frac{1}{\left(2n+1\right)^2-1}\)

\(=\frac{1}{2.4}+\frac{1}{4.6}+...+\frac{1}{2n\left(2n+2\right)}\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-...+\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+2}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2n+2}\right)< \frac{1}{4}\).

a) Giả sử các đỉnh đa giác là các điểm biểu diễn hình học các căn bậc n của đơn vị \(P_o=1\). Xét đa thức :

\(f=z^n-1=\left(z-1\right)\left(z-\omega\right)........\left(z-\omega^{n-1}\right),\omega=\cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n}\)

Rõ ràng :

\(n=f'\left(1\right)=\left(1-\omega\right)\left(1-\omega^2\right)...\left(1-\omega^{n-1}\right)\)

Lấy Modun 2 vế ta được kết quả

b) Ta có :

\(1-\omega^k=1-\cos\frac{2k\pi}{n}-i\sin\frac{2k\pi}{n}=2\sin^2\frac{k\pi}{n}-2i\sin\frac{k\pi}{n}\cos\frac{k\pi}{n}\)

          \(=2\sin\frac{k\pi}{n}\left(\sin\frac{k\pi}{n}-i\cos\frac{k\pi}{n}\right)\)

Do đó : \(\left|1-\omega^k\right|=2\sin\frac{k\pi}{n},k=1,2,....,n-1\)

Sử dụng a) ta có điều phải chứng minh

c) Xét đa giác đều \(Q_oQ_1.....Q_{2n-1}\) nội tiếp trong đường tròn, các đỉnh của nó là điểm biểu diễn hình học của \(\sqrt{n}\) của đơn vị.

Theo a) \(Q_oQ_1.Q_oQ_2....Q_oQ_{2n-1}=2n\)

Bây giờ xét đa giác đều \(Q_oQ_2....Q_{2n-1}\)  ta có \(Q_oQ_2.Q_oQ_4..Q_oQ_{2n-2}=n\)

Do đó \(Q_oQ_1.Q_oQ_3..Q_oQ_{2n-1}=2\) Tính toán tương tự phần b) ta được

\(Q_oQ_{2k-1}=2\sin\frac{\left(2k-1\right)\pi}{2n},k=1,2....n\) và ta có điều phải chứng minh

\(\frac{1}{1.\left(2n-1\right)}+\frac{1}{3.\left(2n-3\right)}+...+\frac{1}{\left(2n-3\right).3}+\frac{1}{\left(2n-1\right).1}\)

\(=\frac{1}{2n}\left[\frac{2n-1+1}{1\left(2n-1\right)}+\frac{2n-3+3}{3\left(2n-3\right)}+...+\frac{3+2n-3}{\left(2n-3\right).3}+\frac{1+2n-1}{\left(2n-1\right).1}\right]\)

\(=\frac{1}{2n}\left(1+\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2n-3}+...+\frac{1}{2n-3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2n-1}+1\right)\)

\(=\frac{1}{n}\left(1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2n-3}+\frac{1}{2n-1}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{A}{B}=\frac{1}{n}\).