Answer:

3.

\(x^2+2y^2+2xy+7x+7y+10=0\)

\(\Rightarrow\left(x^2+2xy+y^2\right)+7x+7y+y^2+10=0\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2+7.\left(x+y\right)+y^2+10=0\)

\(\Rightarrow4S^2+28S+4y^2+40=0\)

\(\Rightarrow4S^2+28S+49+4y^2-9=0\)

\(\Rightarrow\left(2S+7\right)^2=9-4y^2\le9\left(1\right)\)

\(\Rightarrow-3\le2S+7\le3\)

\(\Rightarrow-10\le2S\le-4\)

\(\Rightarrow-5\le S\le-2\left(2\right)\)

Dấu " = " xảy ra khi: \(\left(1\right)\Rightarrow y=0\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(S=x+y=-5\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=0\\x=-5\end{cases}}\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(S=x+y=-2\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=0\\x=-2\end{cases}}\)

Chứng minh BĐT phụ :

\(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)

Thật vậy : \(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2-2xy\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )

Áp dụng vào bài toán ta có : \(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2025\ge\left(x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow-45\le x+y\le45\)

Vậy : \(min\left(x+y\right)=-45,max\left(x+y\right)=45\)

Bài này chỉ có min, không có max của A nhé bạn

Muốn có max thì x;y;z phải không âm

\(\Rightarrow x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\)

\(\Rightarrow1\ge2xy\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}\ge xy\)

Có \(x+y\ge2\sqrt{xy}\ge2\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)

Vậy \(Min_{x+y}=\sqrt{2}\)

Làm tương tự với max

Thêm đk: x,y>0

Tìm max:

Áp dụng BĐT bunhiacopxki ta có:

\(\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2\ge\left(x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}\ge x+y\)

Dấu " = " xảy ra <=> x=y

KL:...............................

Tìm Max nhá:

\(x^2+y^2=1\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2xy=1\)

Suy ra \(\left(x+y\right)^2=1+2xy\)

Lại có: \(1=x^2+y^2\ge2xy\)

Suy ra \(\left(x+y\right)^2=1+2xy\le1+1=2\Leftrightarrow x+y\le\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\sqrt{\frac{1}{2}}\)

Ê đạt: cái của bạn làm là tìm max chứ đâu phải min?

Lời giải:

Tìm min:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}=\frac{6^2}{3}=12$

Vậy $A_{\min}=12$. Giá trị này đạt tại $x=y=z=2$

--------------

Tìm max:

$A=x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)=36-2(xy+yz+xz)$

Vì $x,y,z\geq 0\Rightarrow xy+yz+xz\geq 0$

$\Rightarrow A=36-2(xy+yz+xz)\leq 36$

Vậy $A_{\max}=36$. Giá trị này đạt tại $(x,y,z)=(0,0,6)$ và hoán vị.