Đáp án: Vì a+3 và b+4 chia hết cho 5=>a+3+b+4 chia hết cho 5=> a+b+7 chia hết cho 5

=>a+b có tận cùng là 8 hoặc 3

Vì a+3chia hết cho 5

Nếu a+3 có tận cùng là 0=>a có tận cùng là 2

Nếu a+3 có tận cùng là 5=>a có tận cùng là 7

Vì chia hết cho 5

Nếu b+4 có tận cùng là 0=>b có tận cùng là 6

Nếu b+4 có tận cùng là 5=>b có tận cùng là 1

Ta có: a²+b²=(...2)²+(...1)²=...5 chia hết cho 5(1)(chọn a có tận cùng là 2 và b có tận cùng là 1 vì a+b có tận cùng bằng 3) 

mặt khác: a²+b²=(...7)²+(...6)²=...5 chia hết cho 5(2)(chọn a có tận cùng là 7 và b có tận cùng là 6 vì a+b có tận cùng bằng 3)

Từ (1) và (2) =>a^2 + b^2chia hết cho 5(ĐPCM)

A=2+22+23+...+299+2100A=2+22+23+...+299+2100

⇒2A=22+23+24+...+2100+2101⇒2A=22+23+24+...+2100+2101

⇒A=2101−2⇒A=2101−2

B=3+32+33+...+399+3100B=3+32+33+...+399+3100

⇒3B=32+33+34+...+3100+3101⇒3B=32+33+34+...+3100+3101

⇒2B=3101−3⇒2B=3101−3

⇒B=3101−32

Ta có : (a + b + c) \(⋮\)2

=> \(\left(a+b+c\right)^2⋮2\)

=> \(\left(a+b+c\right)\left(a+b+c\right)⋮2\)

=> \(\left(a+b+c\right).a+\left(a+b+c\right).b+\left(a+b+c\right).c\)

=> \(a^2+ab+ac+ab+b^2+bc+ac+bc+c^2\)

=> \(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)⋮2\)

Vì \(2\left(ab+bc+ca\right)⋮2\)

=> \(a^2+b^2+c^2⋮2\left(\text{đpcm}\right)\)

Bài làm:

Ta có: Vì a+b+c chia hết cho 2

=> a+b+c chẵn

Nên ta xét các TH sau:

+Nếu: Cả 3 số a,b,c đều chẵn

=> a²,b²,c² đều chẵn

=> a²+b²+c² chia hết cho 2

+Nếu: Chỉ có 1 số trong 3 số a,b,c chẵn

G/s a là số chẵn, b và c là 2 số lẻ

=> a² chẵn và b²,c² lẻ

=> a²+b²+c² chẵn

=> đpcm

Cách khác: 

Xét tổng: 

\(\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(a+b+c\right)=\left(a^2+a\right)+\left(b^2+b\right)+\left(c^2+c\right)\)

\(=a\left(a+1\right)+b\left(b+1\right)+c\left(c+1\right)⋮2\)

Vì a ; a + 1 ;là 2 số tự nhiên liên tiếp nên a ( a + 1 ) chia hết cho 2 tương tự b(b+1) và c(c+1) chia hết cho 2 

Mà a + b + c \(⋮\) 2 

=> \(a^2+b^2+c^2⋮\)