1). Gọi AD cắt (O) tại P khác A

Ta có P C M ^ = P A C ^  (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)  = P E M ^ (góc đồng vị do E M ∥ A C );

Suy ra tứ giác ECMP nội tiếp. Từ đó suy ra   M P C ^ = M E C ^ = E C A ^ = C A P ^ ⇒ PM  tiếp xúc (O)

Tương tự PN tiếp xúc (O), suy ra MN tiếp xúc (O) tại P.

a) Dễ thấy: ^CMN = 90⁰ - ^ACB/2;  ^AOQ = ^OAB + ^OBA = 90⁰ - ^ACB/2 => ^CMN = ^AOQ

=> Tứ giác AOQM nội tiếp => ^AQO = ^AMO = 90⁰ (1)

Tương tự ta có: Tứ giác BOPN nội tiếp => ^BPO = ^BNO = 90⁰ (2)

Từ (1) và (2) => ^AQO = ^BPO hay ^AQB = ^BPA => Tứ giác ABPQ nội tiếp (đpcm).

b) Xét \(\Delta\)AQB vuông tại Q: E là trung điểm cạnh AB => ^EQB = ^EBQ = ^ABC/2 = ^QBC 

=> QE // BC (2 góc so le trong bằng nhau). Mà EF là đường trung bình tam giác ABC nên EF // AB

Do đó 3 điểm E,Q,F thẳng hàng (Tiên đề Ơ-clit) (đpcm).

c) Sửa điểm E thành điểm R cho đỡ trùng.

+) C/m : ^BAC = 90⁰ => AR = AC ?

Chứng minh tương tự câu b ta có: PE //AC, gọi G là hình chiếu của O trên cạnh AB

Do ^BAC = 90⁰ => AB vuông góc AC. Từ đó: AC // OG // PE. Áp dụng hệ quả ĐL Thales thì có:

\(\frac{r}{AD}=\frac{OG}{AD}=\frac{EG}{EA}=\frac{PO}{PA}=\frac{ON}{AR}=\frac{r}{AR}\)=> AD=AR (đpcm).

+) C/m : AR = AD => ^BAC = 90⁰ ?

Lại theo hệ quả ĐL Thales, ta có các tỉ số: \(\frac{OG}{AD}=\frac{r}{AR}=\frac{ON}{AR}=\frac{PO}{PA}=\frac{EO}{ED}\)

=> OG // AC (ĐL Thales đảo). Mà OG vuông góc AB => AB vuông  góc AC hay ^BAC = 90⁰ (đpcm).

d) Hệ thức cần chứng minh \(\Leftrightarrow r\left(AB+BC+CA\right)=OC\left(MN+2PQ\right)\)

\(\Leftrightarrow S_{ABC}=S_{CMON}+2S_{CPOQ}\Leftrightarrow2S_{AOB}=2S_{CPOQ}\Leftrightarrow S_{AOB}=S_{CPOQ}\) 

\(\Leftrightarrow OG.AB=OC.PQ\Leftrightarrow\frac{PQ}{AB}=\frac{OG}{OC}\Leftrightarrow\frac{OQ}{OA}=\frac{OM}{OC}\)(Do tứ giác ABPQ nội tiếp)

\(\Leftrightarrow\Delta AOQ~\Delta COM\left(g.g\right)\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\widehat{AQO}=\widehat{CMO}\left(=90^0\right)\\\widehat{OAQ}=\widehat{OCM}\left(=\widehat{OMQ}\right)\end{cases}}\)(Điều này hiển nhiên đúng)

Vậy hệ thức cần chứng minh là đúng => ĐPCM.