Bài 2:

AK=AB/2

CI=CD/2

mà AB=CD

nên AK=CI

Xét tứ giác AKCI có

AK//CI

AK=CI

Do đó: AKCI là hình bình hành

=>AC cắt KI tại trung điểm của mỗi đường(1)

ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường(2)

Từ (1) và (2) suy ra AC,KI,BD đồng quy

Bài 1:

a: \(\widehat{ADE}=\widehat{EDF}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{ADC}\)

\(\widehat{ABF}=\widehat{CBF}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{ABC}\)

mà \(\widehat{ADC}=\widehat{ABC}\)

nên \(\widehat{ADE}=\widehat{EDF}=\widehat{ABF}=\widehat{CBF}\)

Xét ΔEAD và ΔFCB có

\(\widehat{A}=\widehat{C}\)

AD=CB

\(\widehat{EDA}=\widehat{FBC}\)

Do đó: ΔEAD=ΔFCB

=>\(\widehat{AED}=\widehat{CFB}\)

=>\(\widehat{EDF}=\widehat{CFB}\)

mà hai góc này đồng vị

nên DE//BF

b: Xét tứ giác DEBF có

DE//BF

BE//DF

Do đó: DEBF là hình bình hành

 +) AD = DM ( gt ) 
=> ∆ADM cân 
=> góc DAM=góc AMD 
mà góc BAM= AMD( 2 góc so le trong ) 
=> góc DAM=BAM 
=> AM la tia phân giác góc A 
+) Do AD = BC (ABCD là hình bình hành) 
=> BC = MC
=> ΔCMB cân 
=> góc CMB = góc CBM
mà góc ABM = góc CMB (2 góc so le trong do AB// MC)
=> góc ABM = góc CBM
=> BM là tia phân giác của góc B
b) lấy E là trung điểm của AB 
ta có AE = DM ( do AB=DC) 
mà AE//DM ( do AB//CD ) 
=> tứ giác AEDM la hbh 
=> AD=EM 
mà AD=1/2AB 
=> EM=1/2AB 
=> ∆AMB vuông tại M (ĐL trg ∆ có đường trung tuyến ứng với 1 cạnh = một nửa cạnh ấy thì ∆ dó là ∆ vuông) 
=> góc AMB = 90 độ ( đpcm)
* Mình đã cm cho bạn pgiac góc B, k hiểu gì hỏi nhé

Bạn tự vẽ hình nha

a) Do ABCD là hình bình hành ⇒ Góc A = góc C

⇒ \(\dfrac{1}{2}\)góc A = \(\dfrac{1}{2}\)góc C ⇒ Góc DAM = Góc BCN

Xét tam giác ADM và tam giác CBN có:

AD = BC ( ABCD là hình bình hành)

Góc DAM = góc CBN ( Chứng minh trên )

Góc ADB = góc ABC ( ABCD là hình bình hành )

⇒ Tam giác ADM = tam giác CBN (g.c.g)

⇒ BN = DM ( 2 cạnh tương ứng )

Vì ABCD là hình bình hành ⇒ AB = CD

⇒ BN + AN = CM + DM.

Mà BN = DM ⇒ AN = MC. Do AN song song với MC ( vì AB song song với CD)

ANCM là hình bình hành.

b) Xét tứ giác BMDN có BN = DM ; BN song song với DM ( do AB song song với CD)

⇒ BMDN là hình bình hành ⇒ BM = DN

a)  AD = DM ( gt ) 
⇒ ∆ ADM cân 
⇒ \(\widehat{DAM}=\widehat{AMD}\) 
mà \(\widehat{DAM}=\widehat{AMD}\)   ( 2 góc so le trong ) 
⇒  \(\widehat{DAM}=\widehat{BAM}\) 
⇒ AM la tia phân giác \(\widehat{A}\)
Do AD = BC (ABCD là hình bình hành) 
⇒ BC = MC
⇒ △ CMB cân 
⇒ \(\widehat{CMB}=\widehat{CBM}\)
mà \(\widehat{ABM}=\widehat{CMB}\) (2 góc so le trong do AB // MC)
⇒ \(\widehat{ABM}=\widehat{CBM}\)
⇒ BM là tia phân giác của \(\widehat{B}\)
b) Lấy E là trung điểm của AB 
ta có AE = DM ( do AB = DC) 
mà AE // DM ( do AB // CD ) 
⇒ Tứ giác AEDM là hình bình hành
⇒ AD = EM 
mà  AD =\(\dfrac{1}{2}\) AB 
⇒ EM = \(\dfrac{1}{2}\) AB 

⇒ ∆ AMB vuông tại M (vì trong tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng một nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông) 
⇒ \(\widehat{AMB}=90^0\) ( đpcm )

1: Ta có: AB=2AD

mà AB=CD

nên CD=2AD

mà \(CD=2\cdot MD\cdot MC\)

nên AD=DM=MC=BC

Xét ΔAMD có DA=DM

nên ΔAMD cân tại D

Suy ra: \(\widehat{DAM}=\widehat{DMA}\)

mà \(\widehat{DMA}=\widehat{MAB}\)

nên \(\widehat{DAM}=\widehat{BAM}\)

hay AM là tia phân giác của \(\widehat{DAB}\)

Xét ΔBCM có MC=MB

nên ΔBMC cân tại C

Suy ra: \(\widehat{CMB}=\widehat{CBM}\)

mà \(\widehat{CMB}=\widehat{ABM}\)

nên \(\widehat{CBM}=\widehat{ABM}\)

hay BM là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\)

2: Gọi K là trung điểm của AB

Ta có: \(AK=\dfrac{AB}{2}\)

\(DM=\dfrac{DC}{2}\)

mà AB=DC

nên AK=DM

Xét tứ giác AKMD có 

AK//MD

AK=MD

Do đó: AKMD là hình bình hành

mà AD=DM

nên AKMD là hình thoi

Suy ra: MK=AK

mà \(AK=\dfrac{AB}{2}\)

nên \(MK=\dfrac{AB}{2}\)

Xét ΔMAB có 

MK là đường trung tuyến ứng với cạnh AB

\(MK=\dfrac{AB}{2}\)

Do đó: ΔMAB vuông tại M

a) +) AD = DM ( gt ) 
=> ∆ADM cân 
=> góc DAM=góc AMD 
mà góc BAM= AMD( 2 góc so le trong ) 
=> góc DAM=BAM 
=> AM la tia phân giác góc A 
+) Do AD = BC (ABCD là hình bình hành) 
=> BC = MC
=> ΔCMB cân 
=> góc CMB = góc CBM
mà góc ABM = góc CMB (2 góc so le trong do AB// MC)
=> góc ABM = góc CBM
=> BM là tia phân giác của góc B
b) lấy E là trung điểm của AB 
ta có AE = DM ( do AB=DC) 
mà AE//DM ( do AB//CD ) 
=> tứ giác AEDM la hbh 
=> AD=EM 
mà AD=1/2AB 
=> EM=1/2AB 

=> ∆AMB vuông tại M (ĐL trg ∆ có đường trung tuyến ứng với 1 cạnh = một nửa cạnh ấy thì ∆ dó là ∆ vuông) 
=> góc AMB = 90 độ ( đpcm)

a) Xét hình bình hành ABCD có I, K là trung điểm của AB và DC nên IK là đường trung bình. Vậy thì IK = BC = AD.

Xét tứ giác ADKI có 4 cạnh bằng nhau nên nó là hình thoi.

b) Chứng minh tương tự, ta có KCBI là hình thoi.

Vậy thì KA là phân giác góc \(\widehat{DKI}\) , KB là phân giác góc \(\widehat{IKC}\)

Vậy nên \(\widehat{AKB}=\widehat{AKI}+\widehat{IKB}=\frac{1}{2}\widehat{DKI}+\frac{1}{2}\widehat{IKC}=\frac{1}{2}.180^o=90^o\)

Vậy \(\widehat{AKB}=90^o\)

c) Do AB = DC = 2 BC = 2AD nên chu vi hình bình hành bằng 6 lần BC. Vậy BC = 30 : 6 = 5 (cm)

AB = 2 x 5 = 10 (cm)

Do IKCB là hình thoi nên BK là phân giác góc IBC. Vậy nên \(\widehat{IBK}=60^o\) 

Suy ra IBK là tam giác đều hay KB = IK = BC = 5(cm)

Áp dụng định lý Pi-ta-go, ta có: \(AK=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}\left(cm\right)\)

Vậy diện tích tam giác AKB bằng: \(\frac{1}{2}.5.5\sqrt{3}=\frac{25}{2}\sqrt{3}\left(cm^2\right)\)

Dễ thấy diện tích hình bình hành gấp đôi diện tích tam giác AKB nên \(S_{ABCD}=25\sqrt{3}\left(cm^2\right)\)