\(a^4+b^4\ge2a^3b+2ab^3-2a^2b^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a^4-2a^3b+a^2b^2\right)+\left(b^4-2ab^3+a^2b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-ab\right)^2+\left(b^2-ab\right)^2\ge0\) (đúng)

\(\Rightarrow\)Điều phải chứng minh

4 + b 4 ≥ 2a 3b + 2ab 3 − 2a 2b 2

⇔ a 4 − 2a 3b + a 2b 2 + b 4 − 2ab 3 + a 2b 2 ≥ 0

⇔ a 2 − ab 2 + b 2 − ab 2 ≥ 0 (đúng)

⇒Điều phải chứng minh

 chúc cậu hok tốt @_@

Ta có a⁴ + b⁴ - a³ b - ab³ = (a - b)(a³ - b³)

= (a -b)² (a² + ab + b²)

= (a - b)² [\(\frac{3b^2}{4}+\left(a+\frac{b}{2}\right)^2\)]\(\ge0\)

Ta lại có a⁴ + b⁴ \(\ge2a^2b^2\)

Từ đó => 2(a⁴ + b⁴) \(\ge\)ab³ + a³ b + 2 a² b²

\(2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a^2+b^2\right)\cdot\left(a^{ }^2+b^2\right)\ge2ab\cdot\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=ab\cdot\left(a+b\right)^2=ab^3+2a^2b^2+a^3b\)

B trước nhé:

Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 2 số thực dương a^2 và b^2; b^2 và c^2 ; c^2 và a^2 ta được:

a^2 + b^2\(\ge\)2ab

Tương tự b^2 + c^2\(\ge\)2bc

Cx có c^2+a^2\(\ge\)2ac

=> 2(a^2+b^2+c^2)\(\ge\)2(ab + bc +ca)

=>a^2 + b^2 +c^2\(\ge\)ab+bc+ca

Xét \(a^5+b^5-a^3b^2-a^2b^3\)

\(=a^3\left(a+b\right)\left(a-b\right)-b^3\left(b-c\right)\left(a+b\right)\)

\(=\left(a+b\right)\left(a^4-a^3b-b^4-ab^3\right)=\left(a+b\right)a^4+\left(a^4+2a^3b+b^2a^2-2a^2a^2-2ab^3-a^3b+a^2a^2-2ab^3+b^4\right)\)\(=\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)(đpcm)

P/S cchs hơi chậm nhưng dừng chửi nhá