Lời giải:

a)

Xét hiệu:

\(a+\frac{1}{4a}-1=(\sqrt{a})^2+(\frac{1}{2\sqrt{a}})^2-2.\sqrt{a}.\frac{1}{2\sqrt{a}}=(\sqrt{a}-\frac{1}{2\sqrt{a}})^2\geq 0, \forall a>0\)

\(\Rightarrow a+\frac{1}{4a}\geq 1\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{a}-\frac{1}{2\sqrt{a}}=0\) hay $a=\frac{1}{2}$

b)

Biểu thức \(\frac{16x^3-12x^2+1}{4x}+2018\) không có GTLN bạn nhé, chỉ có GTNN

câu b) làm như nào thế

mih sửa đề câu b) \(\frac{16x^3-12x^2+1}{4x}\)nhé

a) Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương \(a,\frac{1}{4a}\) ta được :

\(a+\frac{1}{4a}\ge2\sqrt{a\cdot\frac{1}{4a}}=2\cdot\frac{1}{2}=1\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}\)

b) Đặt \(B=\frac{16x^3-12x^2+1}{4x}+2018=4x^2-3x+\frac{1}{4x}+2018=\left(4x^2-4x+1\right)+\left(x+\frac{1}{4x}\right)+2017\)

\(=\left(2x-1\right)^2+\left(x+\frac{1}{4x}\right)+2017\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta được:

\(x+\frac{1}{4x}\ge2\sqrt{x\cdot\frac{1}{4x}}=1\)mà \(\left(2x-1\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow B\ge2018\)

Dáu "=" xảy ra <=> x=1/2

a/ \(a+\dfrac{1}{4a}\ge1\) dấu = xảy ra khi \(a=\dfrac{1}{2}\)

b/ \(\dfrac{16x^3-12x^2+1}{4x}+2018=\dfrac{\left(16x^3-16x^2+4x\right)+\left(4x^2-4x+1\right)}{4x}+2018\)

\(=\dfrac{\left(4x\sqrt{x}-2\sqrt{x}\right)^2+\left(2x-1\right)^2}{4x}+2018\ge2018\)

cần gấp

Áp dụng bdtd quen thuộc : 

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)

Ta có :

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=\frac{9}{3}=3\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Chứng minh bđt nha ( quên mất )

Áp dụng bđt Cauchy :

\(\hept{\begin{cases}a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\\\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\end{cases}}\)

Nhân từng vế của 2 bđt ta được đpcm

Dấu "=" khi \(a=b=c\)

\(M=\frac{4x+1}{x^2+3}\)

\(\Leftrightarrow Mx^2+3M=4x+1\)

\(\Leftrightarrow Mx^2-4x+3M-1=0\)(1)

*Nếu M = 0 thì x =  ^-1/₄

*Nếu M khác 0 thì (1) có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'\ge0\)

                                                     \(\Leftrightarrow4-M\left(3M-1\right)\ge0\)

                                                    \(\Leftrightarrow4-3M^2+M\ge0\)

                                                     \(\Leftrightarrow-1\le M\le\frac{4}{3}\)

1) Tìm GTNN : 

Ta có : \(\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}=\frac{x^2}{xy+x}+\frac{y^2}{xy+y}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy+\left(x+y\right)}\ge\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+1}=\frac{1}{\frac{1}{2}+1}=\frac{2}{3}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

2) Áp dụng BĐT Svacxo ta có :

\(\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3+a+b+c}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

2/ Áp dụng bđt Cô- si cho 2 số dương ta có :

\(\frac{a^2}{1+b}+\frac{1+b}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{1+b}\frac{1+b}{4}}=a\)

Tương tự ta có \(\frac{b^2}{1+c}+\frac{1+c}{4}\ge b;\frac{c^2}{1+a}+\frac{1+a}{4}\ge c\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge a+b+c-\left(\frac{1+b}{4}+\frac{1+c}{4}+\frac{1+a}{4}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge3-\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{4}=3-\frac{1}{4}.3-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1 

\(A=\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}=\frac{x\left(x+1\right)+\left(y+1\right)}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\)

\(=\frac{x^2+x+y^2+y}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}=\frac{\left(x+y\right)^2-2xy+1}{xy+x+y+1}=\frac{-2xy+2}{xy+2}\)

\(=\frac{-2\left(xy+2\right)+6}{xy+2}=-2+\frac{6}{xy+2}\)

vì x,y>0 \(\Rightarrow xy\ge0\Rightarrow xy+2\ge2\Rightarrow\frac{6}{xy+2}\le\frac{6}{2}\)

\(\Rightarrow A\le-2+\frac{6}{2}=1\)

\(\Rightarrow maxA=1\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\hept{\begin{cases}x=1\\y=0\end{cases}}\\\hept{\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}}\end{cases}}\)\(\Rightarrow maxA=1\)<=> x=0 và y=1 hoặc x=1 và y=0

Áp dụng bđt (a+b)²>=4ab ta có:

\(1^2=\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Rightarrow xy\le\frac{1}{4}\Rightarrow xy+2\le\frac{1}{4}+2=\frac{9}{4}\)

\(\Rightarrow A\ge-2+6:\frac{9}{4}=\frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow minA=\frac{2}{3}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\x+y=1\end{cases}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}}\)

Mấy cái dấu "=" anh tự xét.

Áp dụng BĐT AM-GM: \(VT=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\ge\frac{3}{\frac{a+b+c}{3}}=\frac{9}{a+b+c}\)

a) Áp dụng: \(VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}.\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)

b) \(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\le3-\frac{9}{x+y+z+3}=\frac{3}{4}\)

ko khó nhưng mà bn đăng từng câu 1 hộ mk mk giải giúp cho

gt <=> \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)

Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)

=> Thay vào thì     \(VT=\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{xy}\right)}+\frac{1}{\frac{yz}{\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{yz}\right)}}+\frac{1}{\frac{zx}{\frac{1}{y}\left(1+\frac{1}{zx}\right)}}\)

\(VT=\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\)

Có BĐT x, y, z > 0 thì \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge9xyz\)Ta thay \(xy+yz+zx=1\)vào

=> \(x+y+z\ge9xyz=>\frac{x+y+z}{3}\ge3xyz\)

=> Từ đây thì \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{4}.\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{4}.\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)

=> Ta có ĐPCM . "=" xảy ra <=> x=y=z <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\) 

Đặt: \(\sqrt{a}=x;\sqrt{b}=y;\sqrt{c}=z\)

=>     \(P=\frac{xy}{z^2+3xy}+\frac{yz}{x^2+3yz}+\frac{zx}{y^2+3zx}\)

=>     \(3P=\frac{3xy}{z^2+3xy}+\frac{3yz}{x^2+3yz}+\frac{3zx}{y^2+3zx}=1-\frac{z^2}{z^2+3xy}+1-\frac{x^2}{x^2+3yz}+1-\frac{y^2}{y^2+3zx}\)

Ta sẽ CM: \(3P\le\frac{9}{4}\)<=> Cần CM: \(\frac{x^2}{x^2+3yz}+\frac{y^2}{y^2+3zx}+\frac{z^2}{z^2+3xy}\ge\frac{3}{4}\)

Có:    \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\)

Ta sẽ CM: \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{3}{4}\)

<=> \(4\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)+9\left(xy+yz+zx\right)\)

<=> \(4\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+zx\right)\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)+9\left(xy+yz+zx\right)\)

<=> \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)

Mà đây lại là 1 BĐT luôn đúng => \(3P\le\frac{9}{4}\)=> \(P\le\frac{3}{4}\)

Vậy P max \(=\frac{3}{4}\)<=> \(a=b=c\)

Lời giải:

a)

\(A=4x^2-4x+1=2x(2x-3)+2x+1=2x(2x-3)+(2x-3)+4\)

\(=(2x+1)(2x-3)+4\)

Với \(x\geq \frac{3}{2}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2x+1>0\\ 2x-3\geq 0\end{matrix}\right.\Rightarrow A=(2x+1)(2x-3)+4\geq 4\)

Vậy GTNN của $A$ là $4$ khi $x=\frac{3}{2}$

b)

\(B=5x^2-10x+3=5(x^2-2x+1)-2\)

\(=5(x-1)^2-2\)

Ta thấy \((x-1)^2\geq 0, \forall x\geq 1\Rightarrow B=5(x-1)^2-2\geq -2\)

Vậy GTNN của $B$ là $-2$ khi $(x-1)^2=0\Leftrightarrow x=1$

c)

\(C=4x^2-6x+2=(2x)^2-2.2x.\frac{3}{2}+(\frac{3}{2})^2-\frac{1}{4}\)

\(=(2x-\frac{3}{2})^2-\frac{1}{4}\)

Ta thấy \((2x-\frac{3}{2})^2\geq 0, \forall x\geq 0\Rightarrow C=(2x-\frac{3}{2})^2-\frac{1}{4}\geq -\frac{1}{4}\)

Vậy GTNN của $C$ là $\frac{-1}{4}$ khi \((2x-\frac{3}{2})^2=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{4}\)

d)

\(D=3x^2+2x+1=3(x^2+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9})+\frac{2}{3}\)

\(=3(x+\frac{1}{3})^2+\frac{2}{3}\)

Ta thấy \((x+\frac{1}{3})^2\geq 0, \forall x\geq -1\Rightarrow D=3(x+\frac{1}{3})^2+\frac{2}{3}\geq \frac{2}{3}\)

Vậy GTNN của $D$ là $\frac{2}{3}$ khi $(x+\frac{1}{3})^2=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{3}$

bài 2:

a)\(A=16x^2-8x+3\)

\(=\left[\left(4x\right)^2-2.4x.1+1^2\right]-1+3\)

\(=\left(4x-1\right)^2+2\)

ta thấy: \(\left(4x-1\right)^2\ge0\)

\(\left(4x-1\right)^2+2\ge2\)

vậy GTNN của A là 2 khi \(x=\dfrac{1}{4}\)

b) \(B=19-6x-9x^2\)

\(=-\left[\left(3x\right)^2+2.3x.1+1^2\right]+19\)

\(=-\left(3x-1\right)^2+19\)

ta thấy: \(-\left(3x-1\right)^2\le0\)

\(-\left(3x-1\right)^2+19\le19\)

vậy GTLN của B là 19 khi \(x=\dfrac{1}{3}\)