Gọi ƯCLN (3n+2;4n+3)=d

=> (4n+3) chia hết cho d => 3(4n+3) chia hết cho d => 12n+9 chia hết cho d

=> (3n+2) chia hết cho d => 4(3n+2) chia hết cho d => 12n+8 chia hết cho d

=> (12n+9) - (12n+8) chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d\(\in\)Ư(1)

Mà d lớn nhất

=> d=1

=>3n+2 và 4n+3 là hai số nguyên tố cùng nhau (đpcm)

Bài này mkik mới học hồi sáng, bạn kia làm đúng đó,  bạn ấy đi(^_^)

Gọi số ƯCLN của \(3n+2\) và \(4n+3\) là d

Ta có : \(\left(3n+2\right)⋮d\) và \(\left(4n+3\right)⋮d\Rightarrow\left(4n+3\right)-\left(3n+2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow3\left(4n+3\right)-4\left(3n+2\right)⋮d\Leftrightarrow\left(12n+9-12n+8\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\Leftrightarrow3n+2\)và \(4n+3NTNN\)

Bài 1:

Ta có: \(2+2^2+2^3+...+2^{2010}=2\left(1+2\right)+2^3\left(1+2\right)+...+2^{2009}\left(1+2\right).\)

\(=3\left(2+2^3+...+2^{2009}\right)⋮3\)

\(2+2^2+2^3+...+2^{2010}=2\left(1+2+4\right)+2^4\left(1+2+4\right)+...+2^{2008}\left(1+2+4\right)\)

\(=7\left(2+2^4+...+2^{2008}\right)⋮7\)

bài 2:

Gọi d là ƯCLN của 2n+3 và 3n+4 \(\left(d\inℕ^∗\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+3⋮d\\3n+4⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}6n+9⋮d\\6n+8⋮d\end{cases}\Rightarrow}1⋮d\Rightarrow d=1}\)

\(\RightarrowƯCLN\left(2n+3;3n+4\right)=1\)

\(\Rightarrow\)2n+3 và 3n+4 là 2 số nguyên tố cùng nhau

b: Vì 14n+10 là số chẵn

và 10n+7 là số lẻ

nên 14n+10 và 10n+7 là hai số nguyên tố cùng nhau

5(3n+2)=15n+10

3(5n+3)=15n+9

hai số 15n+9 và 15n+10 là hai số tự nhiên liên tiếp nên ng.tố cùng nhau

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6n+3⋮d\\6n+2⋮d\end{matrix}\right.\Leftrightarrow d=1\)

Vậy: 3n+1 và 6n+3 là hai số nguyên tố cùng nhau