Lời giải:

Tập A sửa lại thành \(A=\left\{\frac{1}{6};\frac{1}{12};\frac{1}{20}; \frac{1}{30};....;\frac{1}{420}\right\}\)

Ta thấy:

\(\frac{1}{6}=\frac{1}{2.3}\)

\(\frac{1}{12}=\frac{1}{3.4}\)

\(\frac{1}{20}=\frac{1}{4.5}\)

.....

\(\frac{1}{420}=\frac{1}{20.21}\)

Do đó công thức tổng quát của các phần tử thuộc tập A là \(\frac{1}{x(x+1)}|x\in \mathbb{N}; 2\leq x\leq 20\)

Đáp án D.

Cách giải: tìm m sao cho phương trình \(4x^2-\left(4m+1\right)x+m=0\) có 2 nghiệm \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=\frac{1}{4}\\x_2=3\end{matrix}\right.\)

Nghĩa là bạn hoàn toàn ko hiểu vấn đề? :)

Tập M là 1 tập rời rạc (có thể gồm 0 hoặc 1 hoặc 2 phần tử tùy thuộc số nghiệm của pt) chứ có phải dạng khoảng đoạn gì đâu mà bạn vẽ hình kiểu thế?

Tập N mới có dạng là 1 khoảng.

Hợp của chúng là 1 đoạn khi và chỉ khi 2 nghiệm của M rơi đúng vào 2 đầu mút của N, hiểu chưa bạn?

Ko hiểu nữa thì chịu rồi

Câu 1:

\(2f\left(x\right)+3f\left(\frac{2}{3x}\right)=5x\) (1)

Đặt \(t=\frac{2}{3x}\Rightarrow x=\frac{2}{3t}\)

\(\Rightarrow2f\left(\frac{2}{3t}\right)+3f\left(t\right)=5.\frac{2}{3t}\Leftrightarrow2f\left(\frac{2}{3t}\right)+3f\left(t\right)=\frac{10}{3t}\)

\(\Rightarrow2f\left(\frac{2}{3x}\right)+3f\left(x\right)=\frac{10}{3x}\Leftrightarrow3f\left(\frac{2}{3x}\right)+\frac{9}{2}f\left(x\right)=\frac{5}{x}\) (2)

Trừ vế cho vế của (2) cho (1):

\(\frac{5}{2}f\left(x\right)=\frac{5}{x}-5x\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{2}{x}-2x\)

\(\Rightarrow\int\limits^1_{\frac{2}{3}}\frac{f\left(x\right)}{x}dx=\int\limits^1_{\frac{2}{3}}\left(\frac{2}{x^2}-2\right)dx=\left(-\frac{2}{x}-2x\right)|^1_{\frac{2}{3}}=\frac{1}{3}\)

Câu 2:

\(3f\left(x\right)-4f\left(2-x\right)=-x^2-12x+16\) (1)

Đặt \(2-x=t\Rightarrow x=2-t\)

\(\Rightarrow3f\left(2-t\right)-4f\left(t\right)=-\left(2-t\right)^2-12\left(2-t\right)+16\)

\(\Rightarrow3f\left(2-t\right)-4f\left(t\right)=-t^2+16t-12\)

\(\Rightarrow3f\left(2-x\right)-4f\left(x\right)=-x^2+16x-12\)

\(\Rightarrow4f\left(2-x\right)-\frac{16}{3}f\left(x\right)=-\frac{4}{3}x^2+\frac{64}{3}x-16\) (2)

Cộng (1) và (2):

\(-\frac{7}{3}f\left(x\right)=-\frac{14}{3}x^2+\frac{28}{3}x\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=2x^2-4x\)

\(\Rightarrow\int\limits^2_0f\left(x\right)dx=\int\limits^2_0\left(2x^2-4x\right)dx=-\frac{8}{3}\)

Câu 3:

\(f\left(x\right)=4x.f\left(x^2\right)+2x+1\)

Lấy tích phân 2 vế:

\(I=\int\limits^1_0f\left(x\right)dx=\int\limits^1_04x^2f\left(x^2\right)dx+\int\limits^1_0\left(2x+1\right)dx=I_1+2\)

Xét \(I_1=\int\limits^1_04x.f\left(x^2\right)dx\)

Đặt \(x^2=t\Rightarrow2x.dx=dt;\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow t=0\\x=1\Rightarrow t=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I_1=\int\limits^1_02.f\left(t\right).dt=2\int\limits^1_0f\left(x\right).dx=2I\)

\(\Rightarrow I=2I+2\Rightarrow I=-2\)

Vậy \(\int\limits^1_0f\left(x\right)dx=-2\)

\(f'\left(x\right)=-e^x.f^2\left(x\right)\Leftrightarrow\frac{f'\left(x\right)}{f^2\left(x\right)}=-e^x\)

Lấy nguyên hàm 2 vế:

\(\int\frac{f'\left(x\right)}{f^2\left(x\right)}dx=-\int e^xdx\)

\(\Rightarrow-\frac{1}{f\left(x\right)}=-e^x-C\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{1}{e^x+C}\)

\(f\left(0\right)=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{1}{1+C}=\frac{1}{2}\Rightarrow C=1\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{1}{e^x+1}\Rightarrow f\left(ln2\right)=\frac{1}{e^{ln2}+1}=\frac{1}{3}\)