1) Phân tích nhân tử
a) a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)+2abc
b) ab(a+b)-bc(b+c)-ca(c-a)
c) (x^2+x)^2+2(x^2+x)-3
2) Cho 3 số a,b,c khác 0 biết
ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)=0.Chứng minh a=b=c
1/Giải phương trình sau :
\(x-a^2x-\frac{b^2}{b^2-x^2}+a=\frac{x^2}{x^2-b^2}\)
2/ Cho a, b, c là các số khác 0 và đôi một khác nhau , thỏa mãn đẳng thức a + b + c = 0 . Chứng minh rằng :
\(a^3+b^3+c^3+a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2=0\)
2, (trích đề thi học sinh giỏi Bến Tre-1993)
\(a^3+a^2b+ca^2+b^3+ab^2+b^2c+c^3+c^2b+c^2a=a^2\left(a+b+c\right)+b^2\left(a+b+c\right)+c^2\left(a+b+c\right)=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
mà a+b+c=0 => (a+b+c)(a2+b2+c2)=0
=> đpcm
*bài này tui làm tắt, không hiểu ib
Vừa lm xog bị troll chứ, tuk quá
\(x-a^2x-\frac{b^2}{b^2-x^2}+a=\frac{x^2}{x^2-b^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x\left(b^2-x^2\right)\left(x^2-b^2\right)}{\left(b^2-x^2\right)\left(x^2-b^2\right)}-\frac{a^2x\left(b^2-x^2\right)\left(x^2-b^2\right)}{\left(b^2-x^2\right)\left(x^2-b^2\right)}-\frac{b^2\left(x^2-b^2\right)}{\left(b^2-x^2\right)\left(x^2-b^2\right)}+\frac{a\left(b^2-x^2\right)\left(x^2-b^2\right)}{\left(b^2-x^2\right)\left(x^2-b^2\right)}=\frac{x^2\left(b^2-x^2\right)}{\left(b^2-x^2\right)\left(x^2-b^2\right)}\)
Khử mẫu :
\(\Leftrightarrow2x^3b^2-xb^4-x^5-2a^2x^3b^2+a^2xb^4+a^2x^5-b^2x^2+b^4+2ab^2x^2-ab^4-ax^4=x^2b^2-x^4\)
Tự xử nốt, lm bài này muốn phát điên mất.
đk \(x\ne\pm b\)
quy đồng mẫu, khử mẫu chung, ta đưa phương trình đã cho về phương trình
\(\left(x^2-b^2\right)\left[\left(1-a\right)-\left(1-a^2\right)x\right]=0\)(1)
với điều kiện x2-b2 khác 0, phương trình (1)trở thành (1-a)-(1-a2)x=0 <=> (1-a2)x=1-a (2)
với a=\(\pm\)1 => (2) vô ngiệm => (1) cũng vô nghiệm và phương trình đã cho cũng vô nghiệm
với a khác \(\pm\)1 => (2) có nghiệm \(x=\frac{1}{1+a}\)
để giá trị x=\(\frac{1}{1+a}\)là nghiệm của phương trình đã cho thì \(\frac{1}{1+a}\ne\pm b\)
kết quả: a=\(\pm1\Rightarrow S=\varnothing\)
\(\hept{\begin{cases}a\ne\pm1\\\frac{1}{1+a}\ne\pm b\end{cases}\Rightarrow S=\left\{\frac{1}{1+a}\right\}}\)
Chứng minh: (a-b)(b-c)(c-a)(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca) khác 0 khi a;b;c là 3 số phân biệt
Câu 1. Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x 2 + 4xy + 3y2
b) x 3 – y 3 + z3 + 3xyz
c) x 4 + 2x2 – x + 2
Câu 2. Chứng minh rằng a = b = c nếu có một trong các điều kiện sau:
a) a 2 + b2 + c2 = ab + bc + ca
b) (a + b + c)2 = 3(a2 + b2 + c2 )
c) (a + b + c)2 = 3(ab + bc + ca)
Câu 3. Chứng minh rằng với số tự nhiên n thì A = n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 là số chính phương.
Câu 4. Tìm x thỏa mãn a) (x – 1)3 + (x – 3)3 = (2x – 4)3 b) (2x – 1)3 + (x + 3)3 = (3x + 2)3 c) (2x + 1)3 + (3x + 3)3 + (-5x - 4)3 = 0
cho a,b,c>0, chứng minh:
1)ab+bc+ca >= a√ab+b√ca+c√ab
2)a^2+b^2+c^2 >= a√ab+b√ca+c√ab
1, Áp dụng BĐT cosi cho a,b,c>0
\(ab+bc\ge2\sqrt{ab^2c}=2b\sqrt{ac}\\ bc+ca\ge2\sqrt{abc^2}=2c\sqrt{ab}\\ ca+ab\ge2\sqrt{a^2bc}=2a\sqrt{bc}\)
Cộng VTV 3 BĐT trên:
\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ac\right)\ge2\left(b\sqrt{ac}+a\sqrt{bc}+c\sqrt{ab}\right)\\ \Leftrightarrow ab+bc+ca\ge a\sqrt{bc}+b\sqrt{ac}+c\sqrt{ab}\)
\(2,\)
Ta có
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\\ \Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\ge0\\ \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\ge0\\ \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
Áp dụng BĐT cm ở câu 1
Suy ra đpcm
1/ Cho a,b,c đối 1 khác nhau thỏa mãn điều kiện (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 (^ là mũ)
Rút gọn biểu thức: P= (a^2)/(a^2+2bc) + (b^2)/(b^2+2ac)+(c^2)/(c^2+2ab)
2/ Phân tích đa thức thành nhân tử: (x + 1)^4 + (x^2 + x +1)^2
3/ Phân tích đa thức thành nhân tử: ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a)
\(ab\left(a-b\right)+bc\left(b-c\right)+ca\left(c-a\right)\)
\(=ab\left(a-b\right)+bc\left(b-c\right)-ca\left(a-c\right)\)
\(=ab\left(a-b\right)+bc\left(b-c\right)-ca\left(a-b+b-c\right)\)
\(=ab\left(a-b\right)+bc\left(b-c\right)-ca\left(a-b\right)-ca\left(b-c\right)\)
\(=\left(a-b\right)\left(ab-ca\right)+\left(b-c\right)\left(bc-ca\right)\)
\(=\left(a-b\right)a\left(b-c\right)+\left(b-c\right)c\left(b-a\right)\)
\(=\left(a-b\right)a\left(b-c\right)-\left(b-c\right)c\left(a-b\right)\)
\(=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)\)
mình làm vội, có chỗ nào sai bạn thông cảm nha
Cho a+ b + c =0 (a,b,c khác 0). Chứng minh rằng a^2/bc+b^2/ca+c^2/ab-3=0
b1. cho a+b+c=0. Chứng minh rằng:
a) (ab+bc+ca)^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2
b) a^4+b^4+c^4=2(ab+bc+ca)^2
b2. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) (2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^16+1)=2^32-1
b)100^2+103^2+105^2+94^2=101^2+98^2+96^2+107^2
b3. tìm x biết:
a) (2x-3)^2+(3x-1)^2=13(x-1)(x+3)
b)(3x-5)^2-2(2x+1)^2=(x-1)(x+2)
c)(x+1)(x-1)(x^2+1)-(x+3)(x-3)(x^2+9)=5
1 \(\left(ab+bc+ca\right)^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)(Vì a+b+c=0)
b)\(a+b+c=0\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=4\left(ab+bc+ca\right)^2\)
Theo câu a) \(\left(ab+bc+ca\right)^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\) nên ta suy ra được điều cần phải chứng minh là \(a^4+b^4+c^4=2\left(ab+bc+ca\right)^2\)
2.
a) \(A=\left(2+1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\left(2^{16}+1\right)\)
\(\Leftrightarrow A=1\left(2+1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\left(2^{16}+1\right)\)
\(A=\left(2-1\right)\left(2+1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\left(2^{16}+1\right)\)
Sử dụng hằng đẳng thức \(\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2\)ta được
\(A=\left(2^2-1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\left(2^{16}+1\right)\)
\(...\)
\(A=2^{32}-1\left(ĐPCM\right)\)
b) Ta có
\(\left(100^2-101^2\right)+\left(103^2-98^2\right)+\left(105^2-96^2\right)+\left(94^2-107^2\right)\)
=\(201\left(-1+5+9-13\right)=0\)
Suy ra ĐPCM
3
a) Phân tích hết ra rồi chuyển vế làm như bài toán tìm x thông thường
b) Sử dụng bất đẳng thức a^2-b^2= (a-b)(a+b)
c) Sử dụng bất đẳng thức (a-b)(a+b)=a^2-b^2 do ta dễ thấy các biểu thức liên hợp
Không hiểu chỗ nào thì có thể nhắn tin sang để mk giải thích
1. Cho các số tự nhiên a,b,c thỏa mãn a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca và a+b+c=3. Tính M=a^2016+2015b^2015+2020c
2.Cho x>y>0. Chứng minh x-y/x+y<x^2-y^2/x^2+y^2
1. Cho các số tự nhiên a,b,c thỏa mãn a2+b2+c2=ab+bc+ca và a+b+c=3. Tính M=a2016+2015b2015+2020c
a2+b2+c2=ab+bc+ca
<=> 2( a2+b2+c2 ) =2( ab+bc+ca )
<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2bc + 2ca
<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca = 0
<=> ( a2 - 2ab + b2 ) + ( b2 - 2bc + c2 ) + ( c2 - 2ca + a2 ) = 0
<=> ( a - b )2 + ( b - c )2 + ( c - a )2 = 0
Dễ chứng minh VT ≥ 0 ∀ a,b,c. Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c
Lại có a+b+c=3 => a=b=c=1
từ đây bạn thế vào tính M nhé :))
2.Cho x>y>0. Chứng minh \(\frac{x-y}{x+y}< \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\)
Ta có : \(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}>\frac{x-y}{x+y}\)
<=> \(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}-\frac{x-y}{x+y}>0\)
<=> \(\frac{\left(x^2-y^2\right)\left(x+y\right)}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}-\frac{\left(x^2+y^2\right)\left(x-y\right)}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}>0\)
<=> \(\frac{x^3+x^2y-xy^2-y^3}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}-\frac{x^3-x^2y+xy^2-y^3}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}>0\)
<=> \(\frac{x^3+x^2y-xy^2-y^3-x^3+x^2y-xy^2+y^3}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}>0\)
<=> \(\frac{2x^2y-2xy^2}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}>0\)
<=> \(\frac{2xy\left(x-y\right)}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}>0\)( đúng vì x > y > 0 )
=> đpcm
Bài 1: Choa;b;c là các số khác 0 và a^2= bc; b^2= ab; c^2=ac.Cmr a=b=c
Bài2: Cho a;b;c là các số khác 0 thỏa mãn ab+ac/2=bc+ba/3=ca+cb/4. Chứng tỏ : a/3= b/5=c/15