\(\Leftrightarrow3\left(x^2-2\right)=\left(y+1\right)^2\)

\(3\left(x^2-2\right)⋮3\Rightarrow y+1⋮3\Rightarrow\left(y+1\right)^2⋮9\)

\(\Rightarrow x^2-2⋮3\) (vô lý do \(x^2\) chia 3 luôn dư 0 hoặc 1)

Vậy pt đã cho vô nghiệm

tìm nghiệm phải đặt bt = 0

3x² + y² + 2x - 2y = 1

\(\Leftrightarrow\)3x² + y² + 2x - 2y - 1 = 0

\(\Leftrightarrow\)2x( x+ 1 ) + ( x + 1 ) ( x - 1 ) - y( y - 1 ) = 0

\(\Leftrightarrow\)( x + 1 ) ( 3x + 1 ) - y( y - 1 ) = 0

\(\orbr{\begin{cases}\left(x+1\right)\left(3x+1\right)=0\\y\left(y-1\right)=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\hept{\begin{cases}x=-1\\x=-\frac{1}{3}\end{cases}}\\\hept{\begin{cases}y=0\\y=1\end{cases}}\end{cases}}\)

Ta có: 3x+2y=321  <=>y= -3x+321 <=> y= -3/2x +321/2 

<=> y = 160-x+1/2-1/2x <=> y = 160-x +(1-x)/2

Vì x,y nguyên dương nên ta có 1-x chia hết cho 2.

Đặt 1-x là 2k (k thuộc Z) => x=1-2k và y= 160-(1-2k)+2k/2 <=> y=160+2k-1+k <=> y=159+3k

Vì y>0 => 159+3k >0 => 3k > -159 => k>-53    (1)

Vì x>0 => 1-2k >0 => 2k < 1 => k < 1/2           (2)

Từ (1) và (2) => -53 < k < 1/2, mà k thuộc Z => k= -52,-51,....-1,0 => có 53 giá trị của k thỏa mãn => pt có 53 nghiệm nguyên dương (x;y)=(1-2k;159+3k) với k thuộc Z

Đây là lần đầu mình dùng trang này nên chưa biết gõ mấy cái kí hiệu toán học, có gì bạn bỏ qua cho nhé :)

Lời giải:

Ta có:

$6x^2y^3+3x^2-10y^3=-2$

$\Leftrightarrow 2y^3(3x^2-5)+(3x^2-5)=-7$

$\Leftrightarrow (2y^3+1)(3x^2-5)=-7$

Vì $x,y$ nguyên nên $2y^3+1; 3x^2-5$ cũng đều nhận giá trị nguyên.

Đến đây ta xét các TH:

TH1: $2y^3+1=-1; 3x^2-5=7$

TH2: $2y^3+1=1; 3x^2-5=-7$

TH3: $2y^3+1=-7; 3x^2-5=1$

TH4: $2y^3+1=7; 3x^2-5=-1$

Giải lần lượt các TH ta được $x=\pm 2; y=-1$