Đặt \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}\). Khi đó, do giả thiết ta có \(\overrightarrow{AM}=\frac{1}{m}.\overrightarrow{b}\) và \(\overrightarrow{AN}=\frac{1}{m+1}.\overrightarrow{c}\)

Suy ra \(\left(m+1\right)\overrightarrow{AN}-m\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\)

Với D là đỉnh thứ 4 của hình bình hàng ABCD, từ đó suy ra MN luôn đi qua điểm D cố định

-Đường thẳng cố định :)

-Qua M,N kẻ các đường thẳng song song với BC cắt AH tại G,F.

-AI cắt BC tại H.

-Xét △MIG có: MG//NF.

\(\Rightarrow\dfrac{MI}{IN}=\dfrac{IG}{IF}\) (định lí Ta-let)

Mà \(MI=IN\) (I là trung điểm MN)

\(\Rightarrow\dfrac{IG}{IF}=\dfrac{MI}{MI}=1\Rightarrow IG=IF\).

-Xét △ABH có: MG//BH.

\(\Rightarrow\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AG}{AH}\) (định lí Ta-let) (1)

-Xét △ACH có: NF//CH.

\(\Rightarrow\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{AF}{AH}\) (định lí Ta-let) (2)

-Từ (1), (2) suy ra: \(\dfrac{AG}{AH}+\dfrac{AF}{AH}=\dfrac{AM}{AB}+\dfrac{AN}{AC}=1\)

\(\Rightarrow AG+AF=AH\) mà \(AG+GH=AH\)

\(\Rightarrow AF=GH\) mà \(IG=IF\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow AF+IF=GH+IG\)

\(\Rightarrow AI=IH\) nên I là trung điểm AH.

-Hạ các đường thẳng vuông góc với BC qua A,I lần lượt tại J,K.

-Xét △AJK có: IK//AJ (do cùng vuông góc với BC).

\(\Rightarrow\dfrac{IK}{AJ}=\dfrac{IH}{AH}\) (định lí Ta-let)

Mà \(IH=\dfrac{1}{2}AH\) (H là trung điểm AI).

\(\Rightarrow\dfrac{IK}{AJ}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AH}{AH}=\dfrac{1}{2}\)

-Vậy trung điểm I của MN chạy trên đường thẳng song song với BC và cách BC một khoảng cách là \(\dfrac{1}{2}AH\) (tức là I di chuyển trên đường trung bình của △ABC ứng với cạnh BC).

Bài 1:

Gọi E là giao điểm của phân giác AD với MN.

Qua E, kẻ đoạn thẳng IJ vuông góc với AD \(\left(I\in AB,J\in AC\right)\)

Gọi H là điểm đối xứng với M qua AD.

Ta thấy rằng \(\widehat{MEI}=\widehat{HEJ}\Rightarrow\widehat{HEJ}=\widehat{JEN}\) hay EJ là phân giác trong góc NEH.

Do \(EJ\perp EA\) nên EA là phân giác ngoài tại đỉnh E của tam giác NEH.

Theo tính chất tia phân giác trong và ngoài của tam giác, ta có:

\(\frac{NJ}{HJ}=\frac{EN}{EH}=\frac{AN}{AH}\Rightarrow\frac{\overline{NJ}}{\overline{NA}}:\frac{\overline{HJ}}{\overline{HA}}=-1\Rightarrow\left(AJNH\right)=-1\)

Áp dụng hệ thức Descartes, ta có \(\frac{2}{AJ}=\frac{1}{AH}+\frac{1}{AN}=\frac{1}{AM}+\frac{1}{AN}=\frac{3}{a}\)

\(\Rightarrow AJ=\frac{2a}{3}\)

Vậy J cố định, mà AD cố định nên IJ cũng cố định. Vậy thì E cũng cố định.

\(AJ=\frac{2a}{3}\Rightarrow AE=\frac{2.AD}{3}\) hay E là trọng tâm tam giác ABC.

Tóm lại MN luôn đi qua trọng tâm tam giác ABC.

giúp em vs CMR với mọi a,b,c ta có (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)>= 3(a+b+c)^2

a,Xét tam giác ABN và tam giác ACM có :

AM=AN (gt)

Góc A chung 

AB=AC(gt)

=> tam giác ABN = tam giác ACM (c-g-c)

b,theo câu a =>AMC^=ANB^(1)

Ta có : AM=AN =>tam giác AMN cân tại A => AMN^=ANM^(2)

Từ 1 và 2 =>MNI^=NMI^(3)

Vì B1^=C1^

B^=C^

=>B^-B1^=C-C1^

=>C2^=B2^(4)

Mặt khác : I1^=I2^(đối đỉnh) (5)

Từ 3 ; 4 và 5 => MNI^+NMI^+I1^=180*=I2^+B2^+C2^(tổng 3 góc của 1 tam giác )

=> MNI^+NMI^ / 2 = B2^+C2^ / 2

=> B2^=MNI^

Vì 2 góc này ở vị trí sole trong  và bằng nhau 

=> MN // BC