Áp dụng BĐT Cô-si dạng Engel,ta có :

\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{b+c-a+c+a-b}=\frac{2}{c}\)

\(\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{c+a-b+a+b-c}=\frac{2}{a}\)

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+b+c-a}=\frac{2}{b}\)

Cộng lại theo vế rồi chia cho 2, ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c 

Bài làm:

Ta xét: \(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)(BĐT Cauchy dạng cộng mẫu)

Tương tự ta chứng minh được:

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{a}\)và \(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{c}\)

Cộng vế 3 bất đẳng thức trên ta được:

\(2\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)

Sa

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)  ta có:

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)

Tương tự cho các BĐT còn lại có:

\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{c};\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\ge\frac{2}{a}\)

Cộng theo vế các BĐT trên ta có:

\(2VT\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}=2VP\Rightarrow VT\ge VP\)

ĐẲng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

Ta có : a+b > c , b+c > a , c+a > b

Xét : \(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}>\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{b+c+a}=\frac{2}{a+b+c}>\frac{2}{a+b+a+b}=\frac{1}{a+b}\)

Tương tự , ta cũng có : \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}>\frac{1}{a+c};\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}>\frac{1}{b+c}\)

Vậy ta có đpcm

Chú ý : a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác chứ không phải a+b,b+c,c+a nhé :)

Bài này là bài chốt trong đề thi hsg toán 9 cấp huyện năm nay của đức thọ đó!

bạn vào Thư viện đề thi THCS Hoàng Xuân Hãn rồi bấm vào mục ở dưới dưới ak tên mục là

Đáp án đề thi hsg toán 9 huyện Đức Thọ năm  học 2018-2019 Đây là bài cuối của đề ak!

mk gửi hình rồi đó! bạn có thấy nó hiện ra chưa?

(*)Ta cần CM bất đẳng thức phụ: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

Thật vậy: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}< =>\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}< =>\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(< =>x^2+2xy+y^2-4xy\ge0< =>x^2-2xy+y^2\ge0< =>\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra <=> x=y

Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên hiển nhiên a > 0; b > 0;c > 0;a+b > 0;b+c-a > 0;c+a-b > 0

Áp dụng bất đẳng thức phụ ta có:

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)

\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên,ta có:

\(2\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(=>\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\left(đpcm\right)\)

bn sử dòng thứ 5 1 tí cho mk: a+b-c > 0 nhé!

Link https://lazi.vn/edu/exercise/cho-a-b-c-la-do-dai-3-canh-cua-mot-tam-giac-va-p-la-nua-chu-vi-chung-minh-1-p-a-1-p-b-1-p-c-21-a-a-b-1-c