đây là 1 sự nhầm lẫn đối với các bạn nhác tìm dấu = :))

Sử dụng BĐT Svacxo ta có :

 \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\)

\(=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{18}{2ab+2bc+2ca}\ge\frac{\left(1+\sqrt{18}\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}\)

\(=\frac{19+\sqrt{72}}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{25\sqrt{2}}{1}=25\sqrt{2}\)

bài làm của e : 

Áp dụng BĐT Svacxo ta có :

\(Q\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\)

Theo hệ quả của AM-GM thì : \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)

\(< =>\frac{7}{ab+bc+ca}\ge\frac{7}{\frac{1}{3}}=21\)

Tiếp tục sử dụng Svacxo thì ta được : 

\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+21=30\)

Vậy \(Min_P=30\)đạt được khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Và đương nhiên cách bạn dcv_new chỉ đúng với \(k\ge2\) ở bài:

https://olm.vn/hoi-dap/detail/259605114604.html

Thực ra bài Min \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\) khi a + b + c = 1

chỉ là hệ quả của bài \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{k}{ab+bc+ca}\) khi \(a+b+c\le1\)

Ngoài ra nếu \(k< 2\) thì min là: \(\left(1+\sqrt{2k}\right)^2\)

\(S=\left(a^2+b^2+c^2+\frac{1}{8a}+\frac{1}{8b}+\frac{1}{8c}+\frac{1}{8a}+\frac{1}{8b}+\frac{1}{8c}\right)+\frac{3}{4a}+\frac{3}{4b}+\frac{3}{4c}\)

\(\ge9\sqrt[9]{a^2b^2c^2.\frac{1}{8a}.\frac{1}{8b}.\frac{1}{8c}.\frac{1}{8a}.\frac{1}{8b}.\frac{1}{8c}}+\frac{3}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\ge\frac{9}{4}+9.\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\ge\frac{9}{4}+\frac{9}{4}.\frac{1}{\frac{a+b+c}{3}}\ge\frac{9}{4}+\frac{9}{4}.2=\frac{27}{4}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}\)

Vậy \(Min_S=\frac{27}{4}\)

dùng bất đẳng thức Schwarz:

A>= \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+b+c+c+a}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\cdot\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)

dấu = xảy ra <=> a=b=c=1/3

. Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho hai bộ số \(\frac{a}{\sqrt{a+b}},\frac{b}{\sqrt{b+c}},\frac{c}{\sqrt{c+a}}\) và \(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\) , ta có:

\(\left(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\right)\left(a+b+b+c+c+a\right)\) \(\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\right)\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\)=\(\frac{a+b+c}{2}\) =\(\frac{1}{2}\)

. 

bạn có thể cho mình biết GTNN là mấy ko

4/ Xét hiệu: \(P-2\left(ab+7bc+ca\right)\)

\(=5a^2+11b^2+5c^2-2\left(ab+7bc+ca\right)\)

\(=\frac{\left(5a-b-c\right)^2+6\left(3b-2c\right)^2}{5}\ge0\)

Vì vậy: \(P\ge2\left(ab+7bc+ca\right)=2.188=376\)

Đẳng thức xảy ra khi ...(anh giải nốt ạ)

@Cool Kid:

Bài 5: Bản chất của bài này là tìm k (nhỏ nhất hay lớn nhất gì đó, mình nhớ không rõ nhưng đại khái là chọn k) sao cho: \(5a^2+11b^2+5c^2\ge k\left(ab+7bc+ca\right)\)

Rồi đó, chuyển vế, viết lại dưới dạng tam thức bậc 2 biến a, b, c gì cũng được rồi tự làm đi:)

í lộn, bài 4:v Bài 3 thấy quen quen, đợi chút em lục lại@Hoàng Quốc Tuấn 

\(áp\)\(dụng\)\(BĐT\)\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

\(ta\)\(có\)\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}\ge\frac{4a^2}{b^2+c^2}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{4a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2+c^2}{a^2}\)

          \(=\frac{3a^2}{b^2+c^2}+\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2+c^2}{a^2}\)

            \(\ge\frac{3a^2}{b^2+c^2}+2\ge3+2=5\)        

dấu = xảy ra khi \(a^2=2b^22c^2\)

Những bài ntn chúng ta nên nhẩm ngiệm để cô si

ta có A=\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{a^2}+\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2}{4b^2}+\frac{b^2}{a^2}+\frac{a^2}{4c^2}+\frac{c^2}{a^2}+\frac{3}{4}\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}\right)\)

Áp dụng bđt cô si cho cặp sô thứ 1, cho cặp số thứ 2

Ta có\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}\ge\frac{4a^2}{b^2+c^2}=4\Rightarrow\frac{3}{4}\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}\right)\ge3\)

+ hết vào ...=> A>=...

dấu = xáy ra <=> b=c=a=1/căn(2)

\(\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}}\)

\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}\)

\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\frac{81}{\left(a+b+c\right)^2}}\)

\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\frac{81}{16\left(a+b+c\right)^2}+\frac{1215}{16\left(a+b+c\right)^2}}\)

\(\ge\sqrt{\frac{2.9}{4}+\frac{1215.4}{16.9}}=\frac{3\sqrt{17}}{2}\)

√a²+1b² +√b²+1c² +√c²+1a² 

≥√(a+b+c)²+(1a +1b +1c )²

≥√(a+b+c)²+81(a+b+c)² 

≥√(a+b+c)²+8116(a+b+c)² +121516(a+b+c)² 

≥√2.94 +1215.416.9 =3√172 

\(\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}}.\)

\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}\)

\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\frac{81}{\left(a+b+c\right)^2}}\)

\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\frac{81}{16\times\left(a+b+c\right)^2}+\frac{1215}{16\times\left(a+b+c\right)^2}}\)

\(\ge\sqrt{\frac{2\times9}{4}+\frac{1215\times4}{16\times9}}=\frac{3\sqrt{17}}{2}\)

\(S\ge3\sqrt[6]{\frac{a^2b^2+1}{ab}.\frac{b^2c^2+1}{bc}.\frac{c^2a^2+1}{ca}}\)

Nguyễn Nhật Minh giải tiếp đi 

Sở trường của Thắng. ( làm rùm) mình tịt rồi.

1) Tìm GTNN : 

Ta có : \(\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}=\frac{x^2}{xy+x}+\frac{y^2}{xy+y}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy+\left(x+y\right)}\ge\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+1}=\frac{1}{\frac{1}{2}+1}=\frac{2}{3}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

2) Áp dụng BĐT Svacxo ta có :

\(\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3+a+b+c}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

2/ Áp dụng bđt Cô- si cho 2 số dương ta có :

\(\frac{a^2}{1+b}+\frac{1+b}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{1+b}\frac{1+b}{4}}=a\)

Tương tự ta có \(\frac{b^2}{1+c}+\frac{1+c}{4}\ge b;\frac{c^2}{1+a}+\frac{1+a}{4}\ge c\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge a+b+c-\left(\frac{1+b}{4}+\frac{1+c}{4}+\frac{1+a}{4}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge3-\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{4}=3-\frac{1}{4}.3-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1 

\(A=\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}=\frac{x\left(x+1\right)+\left(y+1\right)}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\)

\(=\frac{x^2+x+y^2+y}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}=\frac{\left(x+y\right)^2-2xy+1}{xy+x+y+1}=\frac{-2xy+2}{xy+2}\)

\(=\frac{-2\left(xy+2\right)+6}{xy+2}=-2+\frac{6}{xy+2}\)

vì x,y>0 \(\Rightarrow xy\ge0\Rightarrow xy+2\ge2\Rightarrow\frac{6}{xy+2}\le\frac{6}{2}\)

\(\Rightarrow A\le-2+\frac{6}{2}=1\)

\(\Rightarrow maxA=1\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\hept{\begin{cases}x=1\\y=0\end{cases}}\\\hept{\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}}\end{cases}}\)\(\Rightarrow maxA=1\)<=> x=0 và y=1 hoặc x=1 và y=0

Áp dụng bđt (a+b)²>=4ab ta có:

\(1^2=\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Rightarrow xy\le\frac{1}{4}\Rightarrow xy+2\le\frac{1}{4}+2=\frac{9}{4}\)

\(\Rightarrow A\ge-2+6:\frac{9}{4}=\frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow minA=\frac{2}{3}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\x+y=1\end{cases}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}}\)