ta có \(mn\left(m^2-n^2\right)\)

\(=mn\left[\left(m^2-1\right)-\left(n^2-1\right)\right]\)

\(=m\left(m^2-1\right)n-mn\left(n^2-1\right)\)

\(=\left(m-1\right)m\left(m+1\right)n-m\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)

vì \(\left(m-1\right)m\left(m+1\right)\) là tích của 3 số nguyyên liên tiếp nên nó chia hết cho 2 và 3

mà \(\left(2,3\right)=1\)⇒\(\left(m-1\right)m\left(m+1\right)\) chia hết cho 6 ⇒\(\left(m-1\right)m\left(m+1\right)n\) chia hết cho 6

Chứng minh tương tự ta được \(m\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\) chia hết cho 6

⇒\(\left(m-1\right)m\left(m+1\right)n-m\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\) chia hết cho 6

do đó \(mn\left(m^2-n^2\right)\) chia hết cho 6

a) \(mn\left(m^2-n^2\right)=mn\left[\left(m^2-1\right)-\left(n^2-1\right)\right]\)

\(=mn\left(m^2-1\right)-mn\left(n^2-1\right)\)

\(=\left(m-1\right)m\left(m+1\right)n-\left(n-1\right)n\left(n+1\right)m\)

Vì tích 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 3 nên \(\hept{\begin{cases}\left(m-1\right)m\left(m+1\right)⋮3\\\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮3\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(m-1\right)m\left(m+1\right)n⋮3\\\left(n-1\right)n\left(n+1\right)m⋮3\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(m-1\right)m\left(m+1\right)n-\left(n-1\right)n\left(n+1\right)m⋮3\)

Vậy \(mn\left(m^2-n^2\right)⋮3\left(đpcm\right)\)

b) \(n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)=n\left(n+1\right)\left(n+2+n-1\right)\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)

Vì tích 3 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 3 và có ít nhất 1 số chẵn nên chia hết cho 6

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮6\\\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮6\end{cases}}\)

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮6\)

Vậy \(n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)⋮6\left(đpcm\right)\)

Ta biến đổi như sau : \(mn\left(m^2-n^2\right)=mn\left[\left(m^2-1\right)-\left(n^2-1\right)\right]=mn\left[\left(m-1\right)\left(m+1\right)-\left(n-1\right)\left(n+1\right)\right]\)

\(=n.\left(m-1\right).m.\left(m+1\right)-m.\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)\)

Vì \(\left(m-1\right).m.\left(m+1\right)\) và \(\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)\) là các tích của ba số nguyên liên tiếp

nên chia hết cho cả 2 và 3 . Mà \(\left(2,3\right)=1\) nên các tích này chia hết cho 6.

Từ đó suy ra điều phải chứng minh :)

Ta có 

A = mn(m² - n²) = mn(m - n)(m + n)

Ta chứng minh A chia hết cho 2

Với m,n có 1 số chẵn thì A chia hết cho 2

Với m,n đều là lẻ thì (m - n) chia hết cho 2

=> A chia hết cho 2 (1)

Chứng minh chia hết cho 3

Với m,n có 1 số chia hết cho 3 thì  A chia hết cho 3

Với m,n cùng chia 3 dư 1 hoặc dư 2 thì (m - n) chia hết cho 3

Với m chia 3 dư 1 n chia 3 dư 2 (hoặc ngược lại thì (m + n) chia hết cho 3

=> A chia hết cho 3 (2)

Từ  (1) và (2) kết hợp với 2 va 3 nguyên tố cùng nhau thì ta có A chia hết cho 6

ai cũng có cách giải hay hết cảm ơn nhiều :))

Câu 1: 

(Đk n € Z) Ta có :n^3+11n=n^3-n+12n=n(n^2-1)+12n=(n-1)n(n... 
vì n là số nguyên nên (n-1)n(n+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên phải chia hết cho 6;mà 12 lại chia hết cho 6 =>12n cũng chia hết cho 6. 
Vậy (n-1)n(n+1)+12n chia hết cho 6 => n^3+11n chia hết cho 6 (đpcm) 

Câu 2: Gọi biểu thức trên là a ta có:

 A=mn(m²-n²) 
   = mn(m² - 1 - n² + 1) 
   = mn [(m-1)(m+1) - (n-1)(n+1)] 
   = n(m-1)m(m+1) - m(n-1)n(n+1) 
{n(m-1)m(m+1) chia hết cho 3  (tính 3 số tự nhiên liên tiếp) 
{m(n-1)n(n+1) chia hết cho 3    (tính 3 số tự nhiên liên tiếp) 
=> n(m-1)m(m+1) - m(n-1)n(n+1) chia hết cho 3 
=> A chia hết cho 3 

Câu 3:

 n(n+1)(2n+1) = n(n+1)(n+2+n-1)=n(n+1)(n+2)+(n-1)(n+1)n 
ba số liên tiếp thì chia hết cho 2 ; chia hết cho 3 --> tổng trên chia hết cho 6

Vậy n(n+1)(2n+1) chia hết cho 6

Câu 4: Gọi biểu thức trên là B ta có:

* B=n^2(n^4-1) = n^2(n^2+1)(n^2 - 1) 
= n^2(n^2 - 4 + 5)(n^2 - 1) = n^2(n^2 - 1)(n^2 - 4) + n^2(n^2 - 1).5 
= (n - 2)(n-1).n^2(n+1)(n+2) + n^2(n^2 - 1).5 
(n - 2)(n-1).n^2(n+1)(n+2) chứa tích 5 số liên tiếp chia hết cho 5  và n^2(n^2 - 1).5 cũng chia hết cho 5 
=> B chia hết cho 5 

*B=n^2(n^4-1) = n^2(n^2+1)(n^2 -1) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 
=> B chia hết cho 3 

*B=n^2(n^4-1) = n^2(n^2+1)(n^2 -1) = n^2(n^2+1)(n+1)(n-1) 
n chẵn => n^2 chia hết cho 4 => A(n) chia hết cho 4 
n lẻ => n +1 và n -1 là 2 số chẵn => (n+1)(n-1) chia hết cho 4 => A(n) chia hết cho 4 
=> B chia hết cho 4 

Vì: 3,4,5 nguyên tố cùng nhau => Bchia hết cho 3.4.5 = 60

Câu 5: Gọi biểu thức trên là C ta có:

Đặt C = mn(m4-n4) = mn(m2-n2)(m2+n2)=mn(m-n)(m+n)(m2+n2) 
*)Nếu 1 trong 2 số m,n chia hết cho 2 suy ra C chia hết cho 2. 
Nếu k0 thì m,n lẻ suy ra m-n chia hết cho 2 suy ra C chia hết cho 2. 
Vậy C chia hết cho 2 
*)Nếu m,n có 1 số chia hết cho 3 => C chia hết cho 3. 
Nếu k0: +)m,n đồng dư mod 3 => m-n chia hết cho 3 =>C chia hết cho 3 
+)m,n chia 3 dư lần lượt là 1, 2 =>m+n chia hết cho 3 => C chia hết cho 3. 
Vậy C chia hết cho 3. 
*)Nếu m,n có 1 số chia hết cho 5 => C chia hết cho 5 
Nếu k0 +)m,n đồng dư mod 5 =>m-n  chia hết cho 5 
+)m,n có số dư mod 5 là (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4),(3,4) 
Các trường hợp (1,4),(2,3) =>m+n  chia hết cho5 
Còn lại m2+n2 chai hết cho 5 (do 1 số chính phương chia 5 dư 0,1,4 nên bạn có thể tự thử các trường hợp còn lại) 
Vậy C chia hết cho 5. 
Từ kết quả trên => C chia hết cho 30( đpcm). 

dễ zậy mà 5 tháng trời rùi vẫn hổng có ai giải đc