ta có \(mn\left(m^2-n^2\right)\)
\(=mn\left[\left(m^2-1\right)-\left(n^2-1\right)\right]\)
\(=m\left(m^2-1\right)n-mn\left(n^2-1\right)\)
\(=\left(m-1\right)m\left(m+1\right)n-m\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)
vì \(\left(m-1\right)m\left(m+1\right)\) là tích của 3 số nguyyên liên tiếp nên nó chia hết cho 2 và 3
mà \(\left(2,3\right)=1\)⇒\(\left(m-1\right)m\left(m+1\right)\) chia hết cho 6 ⇒\(\left(m-1\right)m\left(m+1\right)n\) chia hết cho 6
Chứng minh tương tự ta được \(m\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\) chia hết cho 6
⇒\(\left(m-1\right)m\left(m+1\right)n-m\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\) chia hết cho 6
do đó \(mn\left(m^2-n^2\right)\) chia hết cho 6
