1. Rút gọn: \(\left(4+\sqrt{15}\right).\left(\sqrt{10}-\sqrt{6}\right).\left(\sqrt{4-\sqrt{15}}\right)\)
2. Cho 3 số dương thỏa x + y + z = 2
Tìm GTNN của A = \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\)
Cho 3 số dương a y z thỏa mãn xyz=1 ,tìm GTNN của
P= \(\frac{x^2\left(y+z\right)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{y^2\left(z+x\right)}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{z^2\left(y+x\right)}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn x + y + z = xyz. Cmr:
\(A=\frac{\sqrt{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}-\sqrt{1+y^2}-\sqrt{1+z^2}}{yz}+\frac{\sqrt{\left(1+z^2\right)\left(1+x^2\right)}-\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1+z^2}}{xz}+\frac{\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}-\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1+y^2}}{xy}=0\)
@Akai Haruma, Nguyen, Nguyễn Thị Ngọc Thơsvtkvtm
Bạn tham khảo tại đây:
Câu hỏi của Vũ Sơn Tùng - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
câu 1 :
Cho 3 số x,y,z thỏa mãn 0<x,y,z≤1 và x+y+z=2
Tìm GTNN của \(A=\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{\left(z-1\right)^2}{y}\)
câu 2 :
Tìm giá trị lớn nhất của A
Với a,b,c , d là các số dương và \(a+b+c+d\le1\)
\(A=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^4+\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)^4+\left(\sqrt{a}+\sqrt{d}\right)^4+\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^4+\left(\sqrt{b}+\sqrt{d}\right)^4+\left(\sqrt{c}+\sqrt{d}\right)^4\)
Bài 1 :
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
\(\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{z}{4}\ge2\sqrt{\frac{\left(x-1\right)^2}{z}\frac{z}{4}}=\left|x-1\right|=1-x\)
\(\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{x}{4}\ge2\sqrt{\frac{\left(y-1\right)^2}{x}\frac{x}{4}}=\left|y-1\right|=1-y\)
\(\frac{\left(z-1\right)^2}{y}+\frac{y}{4}\ge2\sqrt{\frac{\left(z-1\right)^2}{y}\frac{y}{4}}=\left|z-1\right|=1-z\)
\(\Rightarrow\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{z}{4}+\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{x}{4}+\frac{\left(z-1\right)^2}{y}+\frac{y}{4}\ge1-x+1-y+1-z\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{\left(z-1\right)^2}{y}\ge3-\left(x+y+z\right)-\frac{x+y+z}{4}=3-2-\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)
Vậy GTNN của \(A=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)
1) Cho x > 1. Tìm GTNN của: \(A=\frac{1+x^4}{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)
2) Trong các cặp (x;y) thỏa mãn \(\frac{x^2-x+y^2-y}{x^2+y^2-1}\le0\). Tìm cặp có tổng x + 2y lớn nhất.
3) Cho x thỏa mãn \(x^2+\left(3-x\right)^2\ge5\). Tìm GTNN của \(A=x^4+\left(3-x\right)^4+6x^2\left(3-x\right)^2\)
4) Tìm GTNN của \(Q=\frac{1}{2}\left(\frac{x^{10}}{y^2}+\frac{y^{10}}{x^2}\right)+\frac{1}{4}\left(x^{16}+y^{16}\right)-\left(1+x^2y^2\right)^2\)
5) Cho x, y > 1. Tìm GTNN của \(P=\frac{\left(x^3+y^3\right)-\left(x^2+y^2\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\)
6) Cho x, y, z > 0 thỏa mãn: \(xy^2z^2+x^2z+y=3z^2\). Tìm GTLN của \(P=\frac{z^4}{1+z^4\left(x^4+y^4\right)}\)
7) Cho a, b, c > 0. CMR:\(\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\ge\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)
8) Cho x>y>0. và \(x^5+y^5=x-y\). CMR: \(x^4+y^4<1\)
9) Cho \(1\le a,b,c\le2\). CMR: \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\le10\)
10) Cho \(x,y,z\ge0\)CMR: \(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\le\sqrt[3]{\frac{x+y}{2}}+\sqrt[3]{\frac{y+z}{2}}+\sqrt[3]{\frac{z+x}{2}}\)
11) Cho \(x,y\ge0\)thỏa mãn \(x^2+y^2=1\)CMR: \(\frac{1}{\sqrt{2}}\le x^3+y^3\le1\)
12) Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 12. CM: \(\sqrt{3a+2\sqrt{a}+1}+\sqrt{3b+2\sqrt{b}+1}+\sqrt{3c+2\sqrt{c}+1}\le3\sqrt{17}\)
13) Cho x,y,z < 0 thỏa mãn \(x+y+z\le\frac{3}{2}\). CMR: \(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge3\sqrt{17}\)
14) Cho a,b > 0. CMR: \(\left(\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}\right)\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\le4\left(a+b\right)\)
15) Với a, b, c > 0. CMR: \(\frac{a^8+b^8+c^8}{a^3.b^3.c^3}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
16) Cho x, y, z > 0 và \(x^3+y^3+z^3=1\)CMR: \(\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2\)
cậu đăng mỗi lần 1 đến 2 câu thôi chứ nhiều thế này ai làm cho hết được
Ok lần đầu mình đăng nên chưa biết, cảm ơn cậu đã góp ý, mình sẽ rút kinh nghiệm!!
cậu siêu quá , viết thế này chắc tớ chết mất , bạn tải mỗi lần 1, 2 câu thôi .
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z=\(\sqrt{2}\).Tìm GTNN của biểu thức \(T=\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\left(\frac{\sqrt{y+z}}{x}+\frac{\sqrt{z+x}}{y}+\frac{\sqrt{x+y}}{z}\right)\)
a, Cho x,y,z >0 thỏa điều kiện x+y+z=3. Tìm GTNN của A=\(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\)
b, cho x >1 , y>1. Tìm GTNN của A=\(\frac{\left(x^3+y^3\right)-\left(x^2+y^2\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\)
a,\(A\ge\frac{9}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\ge\frac{9}{\sqrt{3\left(x+y+z\right)}}=3\)=3
MInA=3<=>x=y=z=1
b)dùng cô si đi(đề thi chuyên bình phước năm 2016-2017)
Cho x,y,z là các số dương thay đổi và luôn thỏa mãn điều kiện xyz=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
\(P=\frac{x^2\left(y+z\right)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{y^2\left(z+x\right)}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{z^2\left(x+y\right)}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Vì xyz=1\(\Rightarrow x^2\left(y+z\right)\ge2x^2\sqrt{yz}=2x\sqrt{x}\)
Tương tự \(y^2\left(z+x\right)\ge2y\sqrt{y};z^2=\left(x+y\right)\ge2z\sqrt{z}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Đặt \(x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}=a;y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}=b;z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}=c\)
\(\Rightarrow x\sqrt{x}=\frac{4c+a-2b}{9};y\sqrt{y}=\frac{4a+b-2c}{9};z\sqrt{z}=\frac{4b+c-2a}{9}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2}{9}\left(\frac{4c+a-2b}{b}+\frac{4a+b-2c}{a}+\frac{4b+c-2a}{b}\right)\)
\(=\frac{2}{9}\text{ }\left[4\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)-6\right]\ge\frac{2}{9}\left(4.3+2-6\right)=2\)
Min P =2 khi và chỉ khi a=b=c khi va chỉ khi x=y=z=1
b1: rút gọn biểu thức:
\(A=\frac{1-\frac{1}{\sqrt{49}}+\frac{1}{49}-\frac{1}{\left(7.\sqrt{7}\right)^2}}{\frac{\sqrt{64}}{2}-\frac{4}{7}+\left(\frac{2}{7}\right)^2-\frac{4}{343}}\)
b2: tìm x, y, z thỏa mãn:
\(\sqrt{\left(x-\sqrt{2}\right)^2}_{ }\)+ \(\sqrt{\left(y+\sqrt{2}\right)^2}^{ }\)+ |x+y+z| = 0
nhanh nhé, ai đúng mk t*** cho !!!
1,cmr
\(\frac{2\sqrt{mn}}{\sqrt{n}+\sqrt{n}+\sqrt{m+n}}\)=\(\sqrt{m}+\sqrt{n}-\sqrt{m+n}\)
1,rút gọn
a, 3\(\sqrt{27a}+2\sqrt{\frac{a}{3}}+a\sqrt{\frac{4}{3a}}\)
b,\(x^2\sqrt{\frac{12y}{x}}-xy\sqrt{\frac{x}{3y}}\)
c,\(\frac{x}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)}+\frac{y}{\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{y}-\sqrt{x}\right)}+\frac{z}{\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{z}-\sqrt{y}\right)}\)