Cho \(\frac{a}{b}\)= \(\frac{b}{c}\)= \(\frac{c}{d}\)= \(\frac{d}{a}\). Tính M = \(\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+d\right)\left(d+a\right)}{a.b.c.d}\)
cho a;b;c;d là các số thực dương.CMR:\(\frac{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}{a+b+c}+\frac{\left(b-c\right)\left(b-d\right)}{b+c+d}+\frac{\left(c-d\right)\left(c-a\right)}{c+a+d}+\frac{\left(d-a\right)\left(d-b\right)}{d+a+b}\ge0\)
bài này thật ra không khó chỉ cần tách đúng là được à bạn thử ngồi tách xem đi
rồi được rồi nhưng hơi dài nên mình sẽ viết 2 lần nhé
do a;b;c;d bình đẳng với nhau nên ta đặt \(a\ge b\ge c\ge d>0\).Ta có:
Đặt cả cái bài là A => \(A\ge\frac{\left(a-b\right)\left(a-c\right)+\left(b-c\right)\left(b-d\right)+\left(c-d\right)\left(c-a\right)+\left(a-d\right)\left(b-d\right)}{3a}\)
đặt cái trên nhé là B => \(B=\frac{a^2+b^2+c^2+d^2-2ac-2bd}{3a}\)
mà \(a^2+b^2+c^2+d^2\ge2ac+2bd\)=> \(a^2+b^2+c^2+d^2-2ac-2bd\ge0\)=> \(B\ge0\)=>\(A\ge B\ge0\)
Vậy đó là điều phải chứng minh
cho a,b,c,d là các số dương . CMR :
\(\frac{abc}{\left(a+d\right)\left(b+d\right)\left(c+d\right)}+\frac{bcd}{\left(b+a\right)\left(c+a\right)\left(d+a\right)}+\frac{cda}{\left(a+b\right)\left(c+b\right)\left(d+b\right)}+\frac{dab}{\left(d+c\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\ge\frac{1}{2}\)
b) \(2< \frac{\left(a+b\right)}{a+b+c}+\frac{\left(b+c\right)}{b+c+d}+\frac{\left(c+d\right)}{c+d+a}+\frac{\left(d+a\right)}{d+a+b}< 4\)
Cho a,b,c,d > 0 CMR :
a)\(A=\frac{\left(a+c\right)}{a+b}+\frac{\left(b+d\right)}{b+c}+\frac{\left(c+a\right)}{c+d}+\frac{\left(d+b\right)}{d+a}4\ge\)
b, \(\frac{a+b}{a+b+c}>\frac{a+b}{a+b+c+d}\); \(\frac{b+c}{b+c+a}>\frac{b+c}{a+b+c+d}\)
\(\frac{c+d}{c+d+a}>\frac{c+d}{a+b+c+d};\frac{d+a}{a+d+b}>\frac{a+d}{a+b+c+d}\)
Cộng các bĐT trên
=> \(B>\frac{2\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=2\)
Ta có Với \(0< \frac{x}{y}< 1\)
=> \(\frac{x}{y}< \frac{x+z}{y+z}\)
Áp dụng ta có
\(B>\frac{a+b+d}{a+b+c+d}+...+\frac{d+a+c}{a+b+c+d}=3\)
Vậy 2<B<3
Cho 5 số thực khác nhau a,b,c,d,x.Chứng minh :
\(\frac{b+c+d}{\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(d-a\right)\left(x-a\right)}+\frac{a+c+d}{\left(a-b\right)\left(c-b\right)\left(d-b\right)\left(x-b\right)}+\frac{a+b+d}{\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left(d-c\right)\left(x-c\right)}+\)
\(\frac{a+b+c}{\left(a-d\right)\left(b-d\right)\left(c-d\right)\left(x-d\right)}=\frac{a+b+c+d-x}{\left(a-x\right)\left(b-x\right)\left(c-x\right)\left(d-x\right)}\)
CMR : \(\frac{b+c+d}{\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(d-a\right)\left(x-a\right)}+\frac{c+d+a}{\left(c-d\right)\left(d-b\right)\left(a-b\right)\left(x-b\right)}+\frac{d+a+b}{\left(d-c\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left(x-c\right)}\)\(+\frac{a+b+c}{\left(a-d\right)\left(b-d\right)\left(c-d\right)\left(x-d\right)}\)\(=\frac{x-a-b-c-d}{\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)\left(x-d\right)}.\)
\(\frac{b+c+d}{\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(d-a\right)\left(x-a\right)}=\frac{\left(a+b+c+d-x\right)+\left(x-a\right)}{\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(d-a\right)\left(x-a\right)}\)\(=\frac{\left(a+b+c+d-x\right)}{\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(d-a\right)\left(x-a\right)}+\frac{1}{\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(d-a\right)}\)
Áp dụng hoán vị vòng \(b\rightarrow c\rightarrow d\rightarrow a\rightarrow b\) vào VT , ta được :
\(\left(a+b+c+d-x\right)\)[\(\frac{1}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(a-d\right)\left(a-x\right)}+\frac{1}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)\left(b-d\right)\left(b-x\right)}+\frac{1}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)\left(c-d\right)\left(c-x\right)}\)\(+\frac{1}{\left(d-a\right)\left(d-b\right)\left(d-c\right)\left(d-x\right)}\).
Quy đồng mẫu thức và tính toán biểu thức trong [ ] ta được :
\(\frac{-1}{\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)\left(x-d\right)}\)
Vậy ...............
Cho \(a.b.c.d\ne0\) và \(\frac{a+b-c}{c}=\frac{b+c-a}{a}=\frac{c+a-b}{b}\). Tính \(P=\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{c}{d}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)\)
cho a;b;c;d là các số thực khác 0 thảo mãn
\(\frac{a-b+c+d}{b}=\frac{a+b-c+d}{c}=\frac{a+b+c-d}{d}=\frac{b+c+d-a}{a}\)
Tính giá trị của biểu thức
\(M=\frac{\left(a+b+c\right)\left(a+b+d\right)\left(b+c+d\right)\left(c+d+a\right)}{abcd}\)
Ta có với a,b,c,d là các số thực khác 0
\(\Rightarrow\frac{a-b+c+d}{b}=\frac{a+b-c+d}{c}=\frac{a+b+c-d}{d}=\frac{b+c+d-a}{a}\)
\(\Rightarrow\frac{a-b+c+d}{b}+1=\frac{a+b-c+d}{c}+1=\frac{a+b+c-d}{d}+1=\frac{b+c+d-a}{a}+1\)
\(\Rightarrow\frac{a+c+d}{b}=\frac{a+b+d}{c}=\frac{a+b+c}{d}=\frac{b+c+d}{a}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\Rightarrow\frac{a+c+d}{b}=\frac{a+b+d}{c}=\frac{a+b+c}{d}=\frac{b+c+d}{a}=\frac{3\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=3\)
Ta có M= \(\left(\frac{a+c+d}{b}\right)\left(\frac{a+b+d}{c}\right)\left(\frac{a+b+c}{d}\right)\left(\frac{b+c+d}{a}\right)\)
=> M= 3.3.3.3
=> M =81
Áp dụng TC cuae DTSBN ta có:
a-b+c+d/b = a+b-c+d/c = a+b+c-d/d = b+c+d-a/a = \(\frac{a-b+c+d+a+b-c+d+a+b+c-d+b+c+d-a}{b+c+d+a}=\frac{3\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=3\)
=> a-b+c+d/b = 3 => a-b+c+d = 3b => a+c+d = 4b
a+b-c+d/c = 3 => a+b-c+d = 3c => a+b+d = 4c
a+b+c-d/d = 3 => a+b+c-d = 3d => a+b+c = 4d
b+c+d-a/a = 3 => b+c+d-a = 3a => b+c+d = 4a
=> M = \(\frac{\left(a+b+c\right)\left(a+b+d\right)\left(b+c+d\right)\left(c+d+a\right)}{abcd}=\frac{4d.4c.4a.4b}{abcd}=\frac{256abcd}{abcd}=256\)
Vậy M = 256
Theo đề ra, ta có:
\(\frac{a+c+d}{b}-1=\frac{a+b+d}{c}-1=\frac{a+b+c}{d}-1=\frac{b+c+d}{a}-1\)
\(\rightarrow\frac{a+c+d}{b}=\frac{a+b+d}{c}=\frac{a+b+c}{d}=\frac{b+c+d}{a}=\frac{3\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=3\)
(Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau)
Ta có:
\(M=\frac{\left(a+b+c\right)\left(a+b+d\right)\left(b+c+d\right)\left(c+d+a\right)}{abcd}=3^4=81\)
Cho số a và 3 số b, c, d khác a và thảo mãn điều kiện c + d = 2b. Giải phương trình:
\(\frac{x}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}-\frac{2x}{\left(a-b\right)\left(a-d\right)}+\frac{3x}{\left(a-c\right)\left(a-d\right)}=\frac{4a}{\left(a-c\right)\left(a-d\right)}\)
Cho dãy tỉ số bằng nhau \(\frac{3a+b+c+d}{a}=\frac{a+3b+c+d}{b}=\frac{a+b+3c+d}{c}=\frac{a+b+c+3d}{d}\)
Tính Q=\(\left(\frac{a+b}{c+d}\right)^2+\left(\frac{b+c}{a+d}\right)^2+\left(\frac{c+d}{a+b}\right)^2+\left(\frac{a+d}{b+c}\right)^2\)
Ta có:\(\frac{3a+b+c+d}{a}=\frac{a+3b+c+d}{b}=\frac{a+b+3c+d}{c}=\frac{a+b+c+3d}{d}\)
\(\Rightarrow\frac{a+b+c+d}{a}=\frac{a+b+c+d}{b}=\frac{a+b+c+d}{c}=\frac{a+b+c+d}{d}\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a+b+c+d=0\\a=b=c=d\end{cases}}\)
\(TH1:a+b+c+d=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=-\left(c+d\right)\\b+c=-\left(a+d\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow Q=\left(\frac{-\left(c+d\right)}{c+d}\right)^2+\left(\frac{-\left(a+d\right)}{a+d}\right)^2+\left(\frac{c+d}{-\left(c+d\right)}\right)^2+\left(\frac{a+d}{-\left(a+d\right)}\right)^2\)
\(\Rightarrow Q=\left(-1\right)^2\cdot4=1\cdot4=4\)
\(TH2:a=b=c=d\)
\(\Rightarrow Q=\left(\frac{a+a}{a+a}\right)^2+\left(\frac{a+a}{a+a}\right)^2+\left(\frac{a+a}{a+a}\right)^2+\left(\frac{a+a}{a+a}\right)^2=1^2\cdot4=1\cdot4=4\)
Vậy Q=4